rechtwinkliges Dreieck – Lernwege
rechtwinkliges Dreieck – Klassenarbeiten
rechtwinkliges Dreieck – Lexikoneinträge
-
Die Arkusfunktionen („Bogenfunktionen“) sind die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen ( Winkelfunktionen ). Sie geben also die Antwort auf die Frage, welcher Winkel zu einem bestimmten Wert von Sinus , Kosinus bzw. Tangens gehört. Da man sich bei der Diskussion von Funktionen das Leben ungern mit Einheiten wie „Grad“ schwer macht, verwendet man hier in der Regel das Bogenmaß . Da alle drei Winkelfunktionen keine eineindeutigen Funktionen sind, sondern jeder Wert innerhalb des jeweiligen Wertebereichs sogar unendlich oft auftaucht, muss man den Definitionsbereich einschränken...
-
Die Winkelfunktionen Sinus (sin x ), Kosinus (cos x ) und Tangens (tan x ) haben im Allgemeinen irrationale Funktionswerte , die man nur mit dem Taschenrechner oder ähnlichen Hilfsmitteln ausrechnen kann. Bei bestimmten Winkeln erhält man aber leicht zu merkende, zum Teil sogar ganz einfache rationale Werte. Wenn man diese parat hat, kann man oft leichter den Überblick bei trigonometrischen Berechnungen (und Klausur- bzw. Abituraufgaben!) behalten. Gradmaß 0° 30° 45° 60° 90° Bogenmaß 0 \(\displaystyle \frac \pi 6\) \(\displaystyle \frac \pi 4\) \(\displaystyle \frac \pi 3\) \(\displaystyle...
-
Der dem griechischen Mathematiker Euklid zugeschriebene Höhensatz gilt für rechtwinklige Dreiecke und ist Teil der Satzgruppe des Pythagoras . Wenn man die Hypotenuse am Höhenfußpunkt in die beiden Strecken p und q teilt, dann besagt der Höhensatz, dass das Höhenquadrat so groß ist wie das Rechteck aus den beiden Hypotenusenabschnitten, in Formeln: h 2 = p · q Die Beweisidee illustriert die nachstehende Bilderfolge (man beachte, dass die Fläche eines Parallelogramms gleich bleibt, wenn man eine Seite parallelverschiebt). Die Umkehrung des Höhensatzes gilt ebenfalls: Wenn bei einem Dreieck h c...
-
Der dem griechischen Mathematiker Euklid zugeschriebene Kathetensatz gilt für rechtwinklige Dreiecke und ist Teil der Satzgruppe des Pythagoras . Wenn man die Hypotenuse am Höhenfußpunkt in die beiden Strecken p und q teilt, dann besagt der Kathetensatz, dass jedes Kathetenquadrat so groß ist wie das Rechteck aus Hypotenuse und anliegendem Hypotenusenabschnitt, in Formeln: a 2 = p · c und b 2 = q · c Die Beweisidee illustriert die nachstehende Bilderfolge (man beachte, dass die Fläche eines Parallelogramms gleich bleibt, wenn man eine Seite parallelverschiebt). Die Umkehrung des Kathensatzes...
-
Die Kosinusfunktion ist eine trigonometrische Funktion , welche den vom rechtwinkligen Dreieck bekannten Kosinus eines Winkels („ \(\cos \varphi\) “) zu einer auf ganz \(\mathbb R\) definierten Funktion erweitert. Dazu wird das Argument im Bogenmaß angegeben, also als Zahlenwert, wobei der rechte Winkel (±90°) dem Wert \(\displaystyle \pm \frac \pi 2\) und der Vollwinkel dem Wert \(2\pi\) entspricht. Die Kosinusfunktion ist periodisch , es gilt \(\cos x = \cos(x + k \cdot 2\pi) \ \ (k \in \mathbb Z)\) . Der Definitionsbereich ist, wie gesagt, \(D_f = \mathbb R\) , der Wertebereich ist W f =...
-
Der Kotangens, Zeichen cot, ist eine trigonometrische Funktion , die in der Schule heute nicht mehr vorrangig behandelt wird. Dies liegt daran, dass der Kotangens der Kehrwert des Tangens ist und daher alle wesentlichen Eigenschaften schon von der Tangensfunktion her bekannt sind.
-
Der Satz des Pythagoras ist einer der berühmtesten Sätze der Mathematik, wenn nicht aller Naturwissenschaften. Er besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck der Flächeninhalt der beiden Kathetenquadrate gleich dem Flächeninhalt des Hypotenuse nquadrats ist : a 2 + b 2 = c 2 Man fasst den Satz zusammen mit Kathetensatz , Höhensatz und verallgemeinertem Pythagoras-Satz auch zur sog. Satzgruppe des Pythagoras zusammen. Es gibt unzählige Beweise für diesen Satz, eine Beweisidee illustriert die nachstehende Bilderfolge (man beachte, dass die Fläche eines Parallelogramms gleich bleibt, wenn man...
-
Zur Satzgruppe des Pythagoras zählen neben dem berühmten Satz des Pythagoras , \(a^2+b^2=c^2\) , die folgenden Sätze: Kathetensatz (Kathetenquadrate udn Rechtecke über den Hypotenusenabschnitten) Höhensatz (Höhenquadrat und Rechteck der Hypotenusenabschnitte) Verallgemeinerter Satz des Pythagoras (ähnliche Figuren statt Quadrate)
-
Die S inusfunktion ist eine trigonometrische Funktion , welche den vom rechtwinkligen Dreieck bekannten Sinus eines Winkels („ \(\sin \varphi\) “) zu einer auf ganz \(\mathbb R\) definierten Funktion erweitert. Dazu wird das Argument im Bogenmaß angegeben, also als Zahlenwert, wobei der rechte Winkel (±90°) dem Wert \(\displaystyle \pm \frac \pi 2\) und der Vollwinkel dem Wert \(2\pi\) entspricht. Die Sinusfunktion ist periodisch , es gilt \(\sin x = \sin(x + k \cdot 2\pi) \ \ (k \in \mathbb Z)\) . Der Definitionsbereich ist, wie gesagt, \(D_f = \mathbb R\) , der Wertebereich ist W f = [–1...
-
Die Tangensfunktion ist eine trigonometrische Funktion , welche den vom rechtwinkligen Dreieck bekannten Tangens eines Winkels („ \(\displaystyle \tan \varphi = \frac{\sin \varphi}{\cos \varphi}\) “) durch Verwendung des Bogenmaßes zu einer auf (fast) ganz \(\mathbb R\) definierten Funktion erweitert. Nur an den Polstellen (siehe unten), also an den Nullstellen der Kosinusfunktion , ist der Tangens nicht definiert. Die maximale Definitionsmenge ist somit \(\displaystyle D_f = \mathbb R \setminus \{x| \left( k + \frac 1 2\right) \cdot \pi , \ k \in \mathbb Z \}\) , der Wertebereich ist \(W_f...
-
Die Trigonometrie (griech., wörtlich „Dreiecksvermessung“) beschäftigt sich, anders als der Name vermuten lässt, mit dem Ausrechnen von fehlenden Größen in einem Dreieck , also etwa Winkeln, Seitenlängen, Höhen usw. Wesentlich sind dabei die zunächst nur am rechtwinkligen Dreieck definierten trigonometrischen oder Winkelfunktionen . Es gelten dabei die Merksätze „ Sinus ist Gegenkathete durch Hypotenuse“ ( \(\displaystyle \sin \alpha = \frac a c\) ), „ Kosinus ist Ankathete durch Hypotenuse“ ( \(\displaystyle \cos \alpha = \frac b c\) ) und „ Tangens ist Gegenkathete durch Ankathete“ ( \(...
-
Unter den trigonometrischen oder Winkelfunktionen versteht man die Funktionen Sinus (sin x ), Kosinus (cos x ) und Tangens (tan x ) sowie den Kotangens , der als Kehrwert des Tangens definiert ist (cot x = 1/tan x ; Achtung: der Ausdruck „tan –1 x “ bezeichnet die Umkehrfunktion des Tangens, den Arkustangens , und nicht dessen Kehrwert!). Die Eigenschaften und Anwendungen dieser Funktionen sind Thema der Trigonometrie . Insbesondere kann man über den Sinus - und den Kosinussatz fehlende Seitenlängen und Winkel in beliebigen Dreiecken berechnen. Ursprünglich wurden die Winkelfunktionen anhand...