Potenzfunktionen – Klassenarbeiten
Potenzfunktionen – Lexikoneinträge
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Eine Potenzfunktion ist eine Funktion , deren Funktionsterm ein Potenzausdruck ist: \(f\!: x \mapsto x^r \ \ (r \in \mathbb R)\) Die Eigenschaften der Potenzfunktionen hängen davon ab, ob der Exponent tatsächlich aus ganz r gewählt wird, oder ob man sich auf natürliche , ganzzahlig negative oder rationale Exponenten beschränkt (und werden deshalb in den jeweiligen Lexikoneinträgen behandelt). Potenzfunktionen mit einem Stammbruch im Exponenten sind die Wurzelfunktionen: \(f(x) = x^{1/n} \equiv \sqrt[n]{x}\) Die Funktionsgraphen der Potenzfunktionen sind entweder verallgemeinerte Parabeln...
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Eine Potenzfunktion mit natürlichem Exponenten hat die Form \(f\!: x \mapsto f(x) = x^n \ \ (n \in \mathbb N)\) Ihr Funktionsgraph ist eine Parabel n -ter Ordnung, für n = 2 die Normalparabel . Die (maximale) Definitionsmenge ist \(D_f = \mathbb R\) , der Wertebereich hängt von n ab: Bei geradem n ist \(W_f = \mathbb R_0^+\) , bei ungeradem n ist \(W_f = \mathbb R\) . Die Potenzfunktion mit natürlichem Exponenten ist ein Spezialfall einer ganzrationalen Funktion ( Polynomfunktion ), bei der alle Koeffizienten außer einem null sind und dieser eine Koeffizient a n = 1 ist. Weitere Eigenschaften...
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Eine Potenzfunktion mit ganzzahlig negativem Exponenten ist definiert als \(\displaystyle f\!: \mathbb R \setminus {0} \rightarrow \mathbb R \setminus {0}, \ \ x\mapsto x^{-n} \equiv \frac 1 {x^n} \ \ (n \in \mathbb N)\) Manchmal sagt man auch „Hyperbelfunktion“ zu diesen Funktionen, dies ist aber missverständlich, da dies die Bezeichnung für die Funktionen Sinus hyperbolikus , Kosinus hyperbolikus und Tangens hyperbolikus ist (die allerdings in der Schule nur selten drankommen). Diese Sprechweise ist allerdings insofern verständlich, als dass für n = 1 der Funktionsgraph eine Hyperbel ist...
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Eine Potenzfunktion mit rationalem Exponenten hat die Form \(f\!: x \mapsto f(x) = x^{m/n} = \sqrt[n]{x^m} \ \ (m \in \mathbb Z, \ n \in \mathbb N)\) Die Eigenschaften dieser Funktionen hängen wesentlich davon ab, ob der Exponent insgesamt positiv oder negativ ist: \(\dfrac m n >0\) \(\dfrac m n < 0\) (maximale) Definitionsmenge \(D_f = \mathbb R_0^+\) \(D_f = \mathbb R^+\) Wertemenge \(W_f = \mathbb R_0^+\) \(W_f = \mathbb R^+\) Funktionsgraph Parabel \(\dfrac m n\) -ter Ordnung Hyperbel \(\dfrac m n\) -ter Ordnung Nullstelle x = 0 (im Urpsrung) keine Monotonie in ganz D f streng...
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Für das Rechnen mit Potenzen gelten die folgenden Rechengesetze : Vorrangregel: Potenzen werden zuerst berechnet („Potenz vor Punkt vor Strich“): Beispiel: \(4+5^3\cdot6=4+125\cdot6=4+750=754\) Achtung: Potenzen können nur dann addiert oder subtrahiert werden, wenn Basis und Exponent gleich sind: Beispiele: \(5\cdot2^6+4\cdot2^6=9\cdot2^6=9\cdot64=576\) Der Ausdruck \(6\cdot5^2+2\cdot3^4\) kann nicht zusammengefasst werden! Potenzen mit gleichen Exponenten werden multipliziert , indem man die Basen multipliziert und die Exponenten beibehält: a n · b n = ( a · b ) n für alle \(a, b \in...
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Eine Potenzgleichung ist eine Gleichung , bei welcher die Variable als Basis einer Potenz auftritt. Im weiteren Sinn fallen darunter auch Gleichungen, in denen verschiedene Potenzen derselben Variablen auftauchen (z. B. Polynomgleichungen ) oder auch Gleichungen mit mehreren Variablen in mehreren Potenzen. Im eigentlich Sinn hat eine Potenzgleichung aber die Form: \(x^r = c \ \ (c \in \mathbb R)\) mit einer additiven Konstante c . Je nachdem, was für eine Zahl r ist, kann man die folgenden Fälle unterscheiden: r ist 0: dies bedeutet 1 = c und ist gar keine Gleichung in x mehr, diesen...
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Gleichungen , bei denen die Variable unter einer Wurzel auftritt, heißen Wurzelgleichungen . Achtung: Bei Wurzelgleichungen muss die Definitionsmenge D so gewählt werden, dass unter der Wurzel keine negativen Werte auftreten können! Beispiele: \(\sqrt{2x+1}=x+1; \ \ D = \{x\in \mathbb R | x \ge -0,5 \}\) \(1+\sqrt{5x-1}=x+3,5; \ \ D = \{x\in \mathbb R | x \ge 0,2 \}\) \(\sqrt{x^2-6}=\sqrt{2x+2} ; \ \ D = \{x\in \mathbb R | x \ge \sqrt 6 \approx 2,45 \}\) Beim Lösen wird die Gleichung so umgestellt, dass der Wurzelterm auf einer Seite allein steht. Dann werden beide Seiten der Gleichung...