Polynome – Lernwege
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Was sind ganzrationale Funktionen?
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Was sind Graphen ganzrationaler Funktionen?
Polynome – Lexikoneinträge
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Ein Binom ist ein Polynom aus nur zwei Gliedern (lateinisch „bi-“: zwei-), also einfach eine Summe oder Differenz aus zwei Termen: 1 + 1; a + b; x – y ; 5 ax + 13 z 2 . Große Bedeutung haben die binomischen Formeln für quadrierte Binome.
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Faktorisieren bedeutet ganz allgemein „in ein Produkt umwandeln“. Je nachdem, was als Produkt von Faktoren geschrieben werden soll, unterscheidet man Faktorsierung von Zahlen, hier ist vor allem die Primfaktorzerlegung von Bedeutung. Faktorisierung von Termen . Im einfachsten Fall geht es dabei um das Ausklammern eines gemeinsamen Faktors aus einer Summe. In der Analysis spielt das Faktorisieren z. B. bei der Suche nach Nullstellen von Funktionen eine Rolle, denn nach der Faktorregel wird ein faktorisierter Funktionsterm genau dann null, wenn mindestens ein Faktor null ist. Mit anderen Worten...
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Ganzrationale Funktionen oder Polynomfunktionen sind Funktionen, deren Funktionsterm ein Polynom ist, also \(f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_1x + a_0\) . Ihre maximale Definitionsmenge ist \(D_f = \mathbb R \setminus \{x| v(x) = 0\}\) . Wie bei Polynomen nennt man die höchste auftretende Potenz von x den Grad f der ganzrationalen Funktion. Funktionen, die sich als der Quotient von zwei Polynomen schreiben lassen, nennt man gebrochenrationale Funktionen , für ganz- und gebrochenrationale Funktionen zusammen gibt es den Oberbegriff „ rationale Funktion “. Beispiele: Grad f = 0...
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Der Begriff Koeffizient wird in der Mathematik in verschiedenen Zusammenhängen gebraucht, allgemein kann man ihn als einen Vorfaktor bezeichnen. Bei einem Polynom sind die Koeffizienten die Zahlen, die vor den Potenzen der unabhängigen Variablen stehen. Bei einer Linearkombination aus Vektoren sind die Koeffizienten entsprechend die Zahlen vor den Basisvektoren. Die Einträge einer Matrix heißen oft auch Koeffizienten. Speziell bei linearen Gleichungssystemen (LGS) wird die Matrix der Koeffizienten Koeffizientenmatrix genannt. Manchmal werden auch die Komponenten eines Vektors als Koeffizienten...
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Eine kubische Gleichungen ist eine Polynomgleichung dritten Grades. Der Name kommt daher, dass 3 die höchste Potenz der Variablen x ist, genau wie bei der Volumenformel eines Würfels (lateinisch „cubus“). Kubische Gleichungen kann man dann „ lösen“, wenn m an eine Lösung x 1 entweder schon kennt oder durch Ausprobieren oder Genialität errät (Tipp: In Schulaufgaben ist in solchen Fällen sehr häufig 1 oder –1 eine solche Lösung). Dann dividiert man das kubische Polynom durch den Faktor ( x – x 1 ) ( Polynomdivision ). Man erhält dann eine quadratische Gleichung, und mit Mitternachts- oder pq...
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Die Polynomdivision ist ein Rechenverfahren bzw. eine Termumformung , bei der ein Bruchterm , genauer gesagt der Quotient aus zwei Polynomen in eine Summe aus zwei Termen umgeformt wird, und zwar einem einfacheren Polynom und ggf. einem einfacheren Bruchterm: \(\dfrac{Z(x)}{N(x)} = Z(x) : N(x) = Q(x) \ \left[+ \dfrac{r(x)}{N(x)} \right]\) Dabei sind Z ( x ) das Zähler und N ( x ) das Nennerpolynom bzw. Dividend und Divisor, Q ( x ) das „Ergebnis“ (der Quotient) und r(x) das Restpolynom . Diese Bezeichnung kommt daher, dass man auch schreiben kann: \(Z(x) = Q(x) \cdot N(x) \ \left[+ r(x)\right...
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Der Ausdruck Polynomfunktion ist eine andere Bezeichnung für ganzrationale Funktionen . Der Name kommt daher, dass der Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion ein Polynom in der unabhängigen Variablen (meistens x ) ist.
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Sind über den Verlauf einer Polynomfunktion ( ganzrationalen Funktion ) eine Anzahl von Bedingungen z. B. über Nullstellen , Extremstellen oder Wendestellen vorgegeben, so lässt sich damit ein Satz von Gleichungen aufstellen, aus denen der Term der Polynomfunktion ermittelt werden kann. Es gilt dabei: Zur Bestimmung der n + 1 Koeffizienten des Terms einer Polynomfunktion n -ten Grades sind n + 1 Bedingungen nötig. Allgemeines Vorgehen: Setze den Funktionsterm mit variablen Koeffizienten an. Als Koeffizientenvariablen verwendet man dabei aus Gründen der Vereinfachung \(a, b, c, ...\) anstelle...
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Eine Gleichung , die sich als ein Polynom , also in der Form \(a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0 = 0\) mit \(a_0,\, a_1\,a_2,\, a_3,\,\ldots,\,a_{n-1}\in \mathbb R\) und \(a_n \in \mathbb R\!\setminus\!\{0\}\) schreiben lässt, nennt man eine Polynomgleichung . Wie bei Polynomen und Polynomfunktionen nennt man die Zahl n den Grad der Gleichung. Das Lösen einer Polynomgleichung ist gleichbedeutend mit dem Bestimmen der Nullstelle(n) einer Polynomfunktion. Jede Polynomgleichung n -ten Grades hat höchstens n Lösungen. Für Polynomgleichungen kleinen Grades gibt es spezielle...