Polyeder – Lexikoneinträge
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Eine Diagonale verbindet zwei nicht benachbarte Punkte in einem Viereck . oder einem Polygon ( Vieleck ). Im Viereck heißt die Diagonale zwischen den Punkten A und C gewöhnlich e , die zwischen B und D nennt man f . Punkte, in denen sich Diagonalen schneiden, nennt man Diagonalenschnittpunkte. In einem Polygon mit mehr als vier Ecken kann es mehrere Diagonalenschnitpunkte geben. In einem Rechteck oder Quadrat (das natürlich auch ein Rechteck ist) sind beide Diagonalen gleich lang und man kann ihre Länge mit dem Satz des Pythagoras ausrechenen: \(d = (e = f =) \sqrt{ a^2 + b^2}\) . Im Quadrat...
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Ein Dodekaeder (griech., wörtlich „Zwölfflächner“) ist ein regelmäßiges Polyeder und ein platonischer Körper mit 20 Ecken und zwölf Seitenflächen. Die Seitenflächen sind kongruente regelmäßige Fünfecke . Das Volumen eines Dodekaeders mit der Seitenlänge a beträgt \(\displaystyle V = \frac{15+7\sqrt 5}{4}a^3\) , der Oberflächeninhalt \(\displaystyle A = 3 \sqrt{25+10\sqrt 5}\cdot a^2\) . Wenn man die Seitenmitten eines Dodekaeders verbindet, erhält man ein Ikosaeder (und umgekehrt). Das Dodekaeder hat zahlreiche Dreh- und Spiegelsymmetrien und ist punktsymmetrisch bezüglich seines Mittelpunkts...
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Andere Bezeichnung für die Diagonale einer Fläche im Raum, wenn man sie von der Raumdiagonalen eines Körpers abgrenzen will.
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Hexaeder (griech., wörtlich „Sechsflächner“) ist eine andere Bezeichnung für einen Würfel , vor allem in Zusammenhang mit den übrigen platonischen Körpern .
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Ein Ikosaeder (griech., wörtlich „Zwanzigflächner“) ist ein regelmäßiges Polyeder und ein platonischer Körper mit zwölf Ecken und zwanzig Seitenflächen. Die Seitenflächen sind kongruente gleichseitige Dreiecke . Das Volumen eines Ikosaeders mit der Seitenlänge a beträgt \(\displaystyle V = \frac{5(3+\sqrt 5)}{12}a^3\) , der Oberflächeninhalt \(\displaystyle A = 5 \sqrt 3 \cdot a^2\) . Wenn man die Seitenmitten eines Ikosaeders verbindet, erhält man ein Dodekaeder (und umgekehrt). Das Ikosaeder hat zahlreiche Dreh- und Spiegelsymmetrien und ist punktsymmetrisch bezüglich seines Mittelpunkts (...
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Ein Oktaeder (griech., wörtlich „Achtflächner“) ist ein regelmäßiges Polyeder mit sechs Ecken und ein platonischer Körper . Die acht Seitenflächen eines Oktaeders sind kongruente gleichseitige Dreiecke . Man kann ein Oktaeder auch als zwei an ihren quadratischen Grundflächen zusammengeklebte, identische Pyramiden auffassen. Das Volumen eines Oktaeders mit der Seitenlänge a beträgt \(\displaystyle V = \frac{\sqrt 2}{3}a^3\) , der Oberflächeninhalt \(\displaystyle A = 2\sqrt 3\cdot a^2\) . Das Oktaeder hat zahlreiche Dreh- und Spiegelsymmetrien und ist punktsymmetrisch bezüglich seines...
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Platonische Körper (nach dem Philosophen Plato ) sind, mit Ausnahme der Kugel , die Körper mit den meisten Symmetrien . Platonische Körper sind regelmäßige Polyeder , bei denen alle Seitenflächen kongruent sind. Es gibt insgesamt fünf platonische Körper: Tetraeder : vier gleichseitige Dreiecke als Seitenflächen Hexaeder bzw. Würfel : sechs Quadrate als Seitenflächen Oktaeder : acht gleichseitige Dreiecke als Seitenflächen Dodekaeder : zwölf regelmäßige Fünfecke als Seitenflächen Ikosaeder : zwanzig gleichseitige Dreiecke als Seitenflächen
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Ein Polyeder (griech., wörtlich „Vielflächner“) ist ein Körper , dessen Oberfläche aus ebenen Flächen besteht. Normalerweise geht man davon aus, dass alle Kanten gerade Linien sind, in diesem Fall setzt sich die Oberfläche aus Polygonen (Vielecken) zusammen. Bekannte Beispiele für Polyeder sind Pyramiden , Prismen oder der Würfel und die anderen vier platonischen Körper . Man unterteilt Polyeder in konkave (mit „Einstülpungen“ und möglicherweise auch Löchern) und konvexe Polyeder (ohne „Einstülpungen“ und Löcher, wie bei Würfel oder Pyramide). Interessanterweise gilt für alle konvexen Polyeder...
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Ein Prisma (griech., wörtlich „das Zersägte“) ist ein Polyeder mit zwei kongruenten und parallelen Polygonen . Diese Polygone heißen Grund- und Deckfläche, das Prisma entsteht also, indem die beiden Polygone erst aufeinander gelegt und dann entlang einer Geraden auseinandergezogen werden. Beim geraden Prisma stehen alle Seitenflächen senkrecht auf Grund- und Deckfläche, die Seiten sind dann Rechtecke . Auch Quader sind gerade Prismen, bei ihnen sind auch Grund- und Deckfläche Rechtecke. Beim schiefen Prisma ( Schiefprisma ) sind die Seitenflächen Parallelogramme und stehen nicht alle senkrecht...
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Eine Raumdiagonale ist eine Linie ( Diagonale ), welche in einem Körper , insbesondere einem Polyeder , zwei einander räumlich gegenüber liegende Punkte verbindet, also solche, die nicht zur gleichen Seitenfläche gehören bzw. die über drei und nicht zwei Kanten verbunden sind. Die Diagonalen der Seitenflächen nennt man zur besseren Unterscheidung Flächendiagonalen .
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Eine Seitenfläche ist ein abgegrenter Teil der Oberfläche eines geometrischen Körpers . Bei einem Polyeder , etwa einem Würfel , sind alle Seitenflächen flache Polygone ( Vielecke ) und durch die Kanten des Polyeders begrenzt. Bei manchen Polyedern wie Pyramiden oder Prismen ist es sinnvoll, zwischen Grundfläche und Seitenflächen zu unterscheiden. Die Mantelfläche eines Kegels ist ein Beispiel für eine gekrümmte Seitenfläche . Eine Kugel hat keine voneinander abgrenzbaren Seitenflächen, sondern nur eine einzige gekrümmte, sie gleichmäßig umhüllende Oberfläche.
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Ein Tetraeder (griech., wörtlich „Vierflächner“) ist ein regelmäßiges Polyeder mit nur vier Ecken und der kleinste platonische Körper . Die vier Seitenflächen eines Tetraeders sind kongruente gleichseitige Dreiecke . Man kann ein Tetraeder also auch als eine dreiseitige Pyramide auffassen, bei der die Grundfläche gleich den Seitenflächen ist. Das Volumen eines Tetraeders mit der Seitenlänge a beträgt \(\displaystyle V = \frac{\sqrt 2}{12}a^3\) , der Oberflächeninhalt \(\displaystyle A = \sqrt 3 a^2\) . Das Tetraeder hat mehrere Drehsymmetrien (unter anderem mit Drehachse durch eine Ecke und...