Normalverteilung – Lexikoneinträge
-
Unter dem Gesetz der großen Zahl versteht man eine Reihe von Formulierungen, deren Kern es ist, dass Wahrscheinlichkeitsaussagen desto besser zutreffen, je größer eine Stichprobe ist bzw. je häufiger ein Zufallsexperiment ausgeführt wird. Die relative Häufigkeit eines Ereignisses nähert sich im Mittel immer mehr dessen Wahrscheinlichkeit an, wenn das entsprechende Zufallsexperimente immer öfter wiederholt wird. Der Messfehler des Mittelwerts wird desto kleiner, je häufiger man misst. Die Summe einer großen Zahl n von unabhängigen Zufallsvariablen nähert sich immer mehr der Normalverteilung an...
-
Der Satz bzw. die Regel von Moivre-Laplace ist ein Spezialfall des zentralen Grenzwertsatzes für binomialverteilte Zufallsvariablen , demzufolge man die Binomialverteilung bei „langen“ Bernoulli-Ketten durch die Wahrscheinlichkeitsdichte der Normalverteilung annähern kann. Genauer gesagt gilt \(\displaystyle B_{n; \ p} (k) \approx \frac 1 \sigma \cdot \phi \left( \frac{k-\mu}{\sigma} \right) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}\cdot e^{- \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{k-\mu}{\sigma}\right)^2}\) mit dem Erwartungswert \(\mu = n\cdot p\) und der Varianz \(\sigma^2 = n\cdot p \cdot (1-p) = npq\) ...
-
Bei einer stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die Wahrscheinlichkeitsdichte der Integrand der Verteilungsfunktion, also die Funktion „im Integral“. Die Wahrscheinlichkeitsdichte der Standardnormalverteilung ist die Gauß-Funktion \(\displaystyle \varphi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot \text{e}^{-\frac 1 2 x^2}\) .
-
Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung (oder kurz Verteilung ) ist eine Funktion , die für alle möglichen Ergebnisse bzw. Ereignisse bei einem Zufallsexperiment angibt, wie wahrscheinlich sie sind. Dabei muss man zunächst einmal unterscheiden, ob es nur einzelne diskrete Ergebnisse gibt („Kopf“ und „Zahl“ oder „Augenzahl 1 bis 6“) oder man es mit einer stetigen bzw. kontinuierlichen Zufallsvariablen („Größe von 1,50 m bis 1,80 m“) zu tun hat. Dementsprechend spricht man auch von diskreten und stetigen Verteilungen . Weiterhin unterscheidet man zwischen einer Verteilung, welche die...
-
Der zentrale Grenzwertsatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung besagt, dass die Summe von n unabhängigen Zufallsvariablen X i für große n annähernd normalverteilt ist: Für \(X =\displaystyle \sum_{i=1}^n X_i\) ist \(\displaystyle P(X \le x) \approx \Phi \left( \frac{x-\mu}{\sigma} \right)\) mit dem Erwartungswert \(E(X) = \mu = \displaystyle \sum_{i=1}^n \mu_i\) und der Varianz \(Var(X) = \sigma^2 = \displaystyle \sum_{i=1}^n \sigma_i^2\) . Insbesondere ist auch der Mittelwert \(\bar X = \displaystyle \frac 1 n \sum_{i=1}^n \mu_i\) der Zufallsvariablen normalverteilt. Daher kann man davon...