Multiplikation – Lernwege
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Was ist beim Multiplizieren und Dividieren von Brüchen zu beachten?
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Was ist schriftliche Multiplikation und Division?
Multiplikation – Klassenarbeiten
Multiplikation – Lexikoneinträge
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Der Ausdruck n ! (sprich „n Fakultät “) bezeichnet das Produkt der ersten n Zahlen, also z. B. \(6! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 = 720\) Fakultäten werden vor allem in der Kombinatorik und bei der Berechnung von Binomialkoeffizienten benötigt.
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Zu den Grundrechenarten zählen zunächst einmal die Addition und die Multiplikation . Jede Addition und jede Multiplikation von zwei natürlichen Zahlen hat eine natürliche Zahl als Ergebnis. Dies gilt auch in den anderen in der Schule behandelten Zahlenbereichen . Die Umkehroperationen von Addition und Multiplikation sind die Subtraktion und die Division , sie werden ebenfalls als Grundrechenarten bezeichnet. Wenn man zwei Zahlen subtrahiert, bekommt unter Umständen eine negative Zahl als Ergebnis, bei der Division von zwei Zahlen möglicherweise eine Bruchzahl bzw. rationale Zahl. Subtraktion...
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Der Kehrwert \(\dfrac 1 x\) einer rationalen oder reellen Zahl x ist ihr inverses Element bezüglich der Multiplikation , also die Zahl, die mit x malgenommen die Zahl 1 ergibt (das neutrale Element der Multiplikation): \(x \cdot \dfrac 1 x = 1 \ \ (x \in \mathbb R)\) Der Kehrwert einer ganzen Zahl ist ein Stammbruch , der Kehrwert eines Stammbruchs immer eine ganze Zahl. Man erhält den Kehrwert eines beliebigen Bruches , indem man einfach Zähler und Nenner vertauscht: \(\dfrac a b \mapsto \dfrac b a\) Die Division von Brüchen bzw. das Auflösen von Doppelbrüchen lässt sich mit dem Kehrwert...
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Die Multiplikation von zwei Matrizen ist eine Rechenoperation, deren Ergebnis wiederum eine Matrix ist. Wenn man die Matrizen als Abbildungsmatrizen ( Analytische Geometrie ) bzw. Übergangsmatrizen ( Stochastik ) auffasst, entspricht das Matrixprodukt der Hintereinanderausführung zweier Abbildungen bzw. zweier „Zeitschritte“ eines Zufallsvektors . Da man Vektoren als Matrizen mit nur einer Spalte bzw. Zeile ansehen kann, ist die Matrixmultiplikation auch für Vektoren definiert (siehe unten). Die Matrizenmultiplikation einer m × n -Matrix A mit einer n × p -Matrix B wird komponentenweise...
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Wenn es bei einer Rechenoperation eine Zahl (oder sonstige mathematische Sache) gibt, die jede andere Zahl (Sache) bei Anwendung der Operation unverändert lässt, nennt man sie das neutrale Element dieser Operation. Beispiele: Bei der Addition ist die 0 das neutrale Element, denn 0 + x = x ( \(x \in \mathbb R\) ). Bei der Multiplikation ist die 1 das neutrale Element, denn 1 · x = x ( \(x \in \mathbb R\) ). Bei der Vektoraddition ist der Nullvektor das neutrale Element, denn es ist \(\vec 0 + \vec x = \vec x\) für alle Vektoren \(\vec x\) im betrachteten Vektorraum. Wenn es zu einer Zahl...
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Ein Produkt aus n gleichen reellen Faktoren a heißt Potenz a n (sprich: „ a hoch n “). Man sagt: a wird mit n potenziert. Die Zahl a wiederum heißt auch Basis oder Grundzahl, die Zahl n ist der Exponent bzw. die Hochzahl. Weiter wird festgelegt: a 1 = a ( \(a \in \mathbb{R}\) ) und a 0 = a ( \(a \in \mathbb{R}\setminus\{0\}\) ) Achtung: Der Ausdruck „0 0 “ ist mathematisch nicht sinnvoll zu definieren und sollte deshalb unbedingt vermieden werden! Beispiele: \(5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125\) \(\left ( \dfrac{3}{5} \right )^4=\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{3}{5}=...
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Eine Quadratzahl q (oder kurz ein Quadrat) ist das Produkt einer Zahl n mit sich selbst: q = n 2 Meistens ist dabei das Quadrat von natürlichen Zahlen gemeint, man kann aber auch die Quadrate von ganzen oder rationalen Zahlen als Quadratzahlen auffassen. Die ersten Quadratzahlen sind (0), 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, … Anmerkung: Es schadet in keinster Weise, die ersten 10 oder 20 Quadratzahlen auswendig zu wissen! Interessantes über Quadratzahlen: Die letzte Stelle einer Quadratzahl ist immer eine 1, 4, 5, 6, 9. Wenn man eine Quadratzahl durch 9 teilt, muss der Rest 0, 1, 4 oder 7...
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Der Satz vom Nullprodukt besagt, dass ein Produkt immer dann gleich null ist, wenn mindestens ein Faktor gleich null ist: 5 · 293.257 · \(\pi\) · 0,22 · 0 · (–111) = 0 Dies gilt auch, wenn die Faktoren Terme sind und Variablen enthalten. Dies kann man sich zunutze machen, wenn man wissen will, ob eine Funktion (mindestens) eine Nullstelle hat: Wenn man die Funktion faktorisieren also als Produkt schreiben kann, genügt es einen Faktor zu finden, der null wird. Beispiel: Die Funktion \(f(x) = x^4 + 3x^2 –0,5x = 0\) hat eine Nullstelle bei x = 0, denn \(x^4 + 3x^2 –0,5x = 0 \ \ \Leftrightarrow...
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Sollten einmal weder ein Taschenrechner, noch ein Smartphone, Schreibtischcomputer oder Kopfrechengenie vefügbar sein, kann man die Grundrechenarten auch „auf Papier“, also schriftlich ausführen. Dabei wird immer stellengerecht gerechnet, d. h. alle Dezimalkommas müssen untereinander stehen. Fehlende Dezimalstellen am Ende können zur besseren Übersicht durch Nullen aufgefüllt werden. Addition Es wird von rechts nach links und von oben nach unten gerechnet, also erst „7 + 0 = 7“, dann „6 + 3 = 9“ usw. Achtung: Bei der „Einerstelle“ rechnet man „4 + 8 = 12 “, das Ergebnis ist also größer als 9...