Mengenlehre – Lexikoneinträge
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In der beschreibenden Statistik ist der Durschnitt ein Synonym für das arithmetische Mittel . Bei Mengen dagegen verwendet man diesen Ausdruck manchmal für die Schnittmenge zweier Mengen.
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In der Mengenlehre ist ein Element irgendetwas, das zu einer Menge gehört. Beispiele: 1; 13 und 152.936.749.370 sind Elemente der Menge \(\mathbb N\) der natürlichen Zahlen . 1 und \(-\dfrac 1 \pi\) sind Elemente der Menge \(\mathbb R\) der reellen Zahlen . Niedersachsen ist ein Element der Menge der deutschen Bundesländer. Die leere Menge ist die einzige Menge, die kein Element enthält. In einem Körper (z. B. der Menge \(\mathbb R\) ) besitzen die Rechenoperationen Addition und Multiplikation je ein neutrales Element , nämlich die 0 bzw. die 1. Außerdem gibt es zu jeder reellen Zahl x ein...
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Die leere Menge ist eine Menge , die kein Element enthält. Man schreibt dafür entweder „ \(\emptyset\) “ oder „{}“. Es gilt: Die leere Menge ist Teilmenge von jeder beliebigen Menge M : \(\emptyset \subset M\) Die einzige Teilmenge der leeren Menge ist die leere Menge. Die Schnittmenge einer beliebigen Menge M mit der leeren Menge ist die leere Menge: \(M \cap \emptyset = \emptyset\) Die Vereinigungsmenge einer beliebigen Menge M mit der leeren Menge ist die Menge M selbst: \(M \cup \emptyset = M\)
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Eine Menge ist, ganz allgemein formuliert, entweder etwas, das andere Objekte (Dinge, Wesen oder was auch immer) enthält, die man die Elemente der Menge nennt. Der Begriff der Menge ist so abstrakt wie grundlegend für die Mathematik, es gelten nur die folgenden Bedingungen: Man kann von jedem Objekt sagen, ob es Element einer bestimmten Menge ist oder nicht. Ein Element kann auch mehrfach bzw. beliebig oft in einer Menge enthalten sein. Es gibt in einer Menge keine Reihenfolge oder sonstige Ordnung, wichtig ist nur „drin oder nicht“. Mengen können kein Element, endlich viele Elemente oder...
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Bei zwei Mengen A und B ist die Restmenge ( Differenzmenge ) \(A \setminus B\) (lies: „ A ohne B “) die Menge aller Elemente, die in A , aber nicht in B enthalten sind: \(A \setminus B = \{x|\ x\in A \land x\notin B\}\) Entspricht ist \(B \setminus A = \{x|\ x\in B \land x\notin A\}\) . Im Allgemeinen ist \(A \setminus B \neq B \setminus A\) (bei Schnittmenge und Vereinigungsmenge kann man dagegen die beiden Mengen vertauschen: \(A \cap B = B \cap A\) und \(A \cup B = B \cup A\) ). Wenn B eine Teilmenge von A ist ( \(B \subseteq A\) ), dann wird \(A \setminus B\) das Komplement von B...
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Bei zwei Mengen A und B die Menge aller Elemente, die sowohl in A als auch in B enthalten sind: \(A \cap B = \{x|\ x\in A \land x\in B\}\) Es ist immer \(A \cap B = B \cap A\) . Ein andere Name für die Schnittmenge ist Durchschnitt .
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Bei zwei Mengen A und B die Menge aller Elemente, die mindestens in einer der beiden Mengen enthalten sind: \(A \cup B = \{x|\ x\in A \vee x\in B\}\) Es gilt dabei immer \(A \cup B = B \cup A\) .