Mengen – Lernwege
-
Was ist der Unterschied zwischen much, many und a lot?
-
Was bedeuten some und any?
Mengen – Lexikoneinträge
-
Die Definitionsmenge bzw. der Definitionsbereich einer Funktion oder Gleichung enthält alle Zahlen, die – setzt man sie für eine Variable im Funktionsterm ein –, zu einem mathematisch definierten Ausdruck führen. Dies lässt sich leichter verstehen, wenn man sagt, welche Zahlen nicht in der Definitionsmenge enthalten sein dürfen: Alles was dazu führt, dass durch null geteilt würde oder die Wurzel aus einer negativen Zahl gezogen würde. Man darf, aus welchen Gründen auch immer, die Definitionsmenge einer Funktion auch noch weiter als „mathematisch notwendig“ einschränken , etwa wenn man sich nur...
-
Die Grundmenge G einer Gleichung oder Ungleichung mit Variablen enthält alle Objekte, die grundsätzlich für die Variablen eingesetzt werden können. (In der Schulmathematik sind das in aller Regel Zahlen). Die Definitionsmenge D enthält dagegen nur diejenigen Elemente der Grundmenge, mit denen sich ein mathematisch sinnvoll definierter Ausdruck ergibt. Im Wesentlichen schließt man, um D festzulegen, aus G alle Zahlen aus, mit denen in einem Nenner 0, unter einer Wurzel eine negative Zahl oder im Argument eines Logarithmus eine negative Zahl oder 0 stünde.
-
Die Lösungsmenge L einer Gleichung oder Ungleichung enthält alle Elemente der Definitionsmenge D , welche zu einer wahren Aussage führen, sofern sie für die Variable(n) eingesetzt werden. Handelt es sich dabei um einige einzelne Werte, gibt man die Lösungsmenge meist durch Aufzählen aller Elemente an, z. B. \(x^2= 1 \ \ \Rightarrow \ \ L=\{ -1; 1 \}\) Bei sehr vielen oder unendlich vielen Lösungen gibt es verschiedene Kurznotationen, z. B. \(x= |x| \ \ (D = \mathbb R) \ \ \Rightarrow \ \ L= \mathbb R_0^+ = \{x| x \ge0 \}\) Eine (Un-)Gleichung, die immer erfüllt ist, hat ganz D als...
-
D ie Mengenlehre ist d as Teilgebiet der Mathematik, das sich mit den Eigenschaften von Mengen beschäftigt. Früher war die Mengenlehre sogar Stoff der Grundschule und es gab Schulbücher mit Titeln wie „Lustige Mengenlehre“. Heute wird sie eher nebenbei behandelt, ihre Grundlagen sind aber nach wie vor wichtig für viele andere mathematische Teilgebiete.
-
Die Potenzmenge \(\mathcal{P}(M)\) einer Menge M ist die Menge aller ihrer Teilmengen.
-
Die Teilermenge T n einer natürlichen Zahl n enthält alle Zahlen, durch die n teilbar ist, d. h. alle Teiler von n : \(T_n = \{m\in \mathbb N\big| m \mid n \}\) Beispiele: T 30 = {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30} T 100 = {1; 2; 4; 5; 10; 25; 50} T 101 = {1; 101 } Die Teilermenge einer Primzahl enthält nur die 1 und die Zahl selbst. Die Teilermenge einer Zahl enthält immer eine gerade Anzahl von Elementen, die sich in Paare sortieren lassen, welche miteinander multipliziert die Zahl selbst ergeben. Beispiel: n = 30 (8 Elemente, 4 Paare): 1 · 30 = 30; 2 · 15 = 30; 3 · 10 = 30; 5 · 6 = 30
-
Eine Teilmenge ( Untermenge ) T einer Menge M ist dadurch definiert, dass alle Elemente von T in M liegen, aber nicht unbedingt alle Elemente von M in T . Beispiel: Die Menge {a; b; c} hat die Teilmengen \(\emptyset\) , {a} , {b}, {c}, {a; b} , {b; c}, {a; c} und {a; b; c}. Wenn die Teilmenge T nicht alle Elemente von M enthält, also wenn \(T \ne M\) , dann sagt mann, dass T eine echte Teilmenge von M ist und schreibt \(T \subset M\) . Eine unechte Teilmenge von M kann dagegen auch M selbst sein, in diesem Fall schreibt man \(T \subseteq M\) . Die leere Menge ist eine (echte) Teilmenge von...
-
Eine Menge aus n Elementen, bei welcher die Reihenfolge der Elemente festgelegt ist, nennt man ein n -Tupel . Man schreibt ein Tupel meist mit runden Klammern, im Gegensatz zu Mengen, die mit geschweiften Klammern notiert werden. 2-Tupel heißen auch geordnete Paare , 3-Tupel Tripel , 4-Tupel Quadrupel usw. Beispiel: „{1; 2; 3}“ und „{3; 2; 1}“ bezeichnen dieselbe Menge , dagegen sind „(1; 2; 3)“ und „(3; 2; 1)“ zwei verschiedene Tripel . Der Unterschied zwischen Mengen und Tupeln spielt in der Kombinatorik eine besondere Rolle, da man dort unterscheidet, ob es in einer Stichprobe oder beim...