Matrix – Lexikoneinträge
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In der Analytischen Geometrie versteht man unter einer Abbildungsmatrix eine Matrix , die eine lineare Abbildung ( Drehung , Verschiebung , Spiegelung ) zwischen Vektoren beschreibt. Eine lineare Abbildung f zwischen zwei Vektoren \(\overrightarrow{x}\) und \(\overrightarrow{x}'\) (bzw. zwischen zwei Vektormengen bzw. Vektorräumen X und \(X'\) ) kann man formal wie eine proportionale Zuordnung bzw. Funktion zwischen normalen Zahlen schreiben: \(f: X \longrightarrow X', \ \overrightarrow{x} ' = f(\overrightarrow{x}) = A \cdot \overrightarrow{x} \) Dabei sind \(\overrightarrow{x} \in X\) der...
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Die Determinante ist eine Funktion, die jeder quadratischen Matrix auf zunächst etwas willkürlich scheinende, aber eindeutige Weise eine Zahl zuordnet. Das Besondere daran ist, dass man mithilfe der Determinante wichtige Informationen über die Matrix und ihre Spalten- bzw. Zeilenvektoren gewinnt. In zwei Dimensionen , also für die „ zweireihige “ Determinante einer 2×2-Matrix A , lautet die Definition: \(\det A = \det \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \equiv \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21} \) In...
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Ein Eigenvektor ist ein Vektor , dessen Richtung sich bei einer linearen Abbildung , d. h. bei Multiplikation mit einer Abbildungsmatrix , nicht ändert. Das bedeutet, dass der Vektor bei dieser Abbildung höchstens länger oder kürzer (also „ skaliert “), aber nicht gedreht wird. Der Skalierungsfaktor heißt dann Eigenwert . Beispiel: Die Matrix A = \(\begin{pmatrix} 3 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 \end{pmatrix}\) hat die Eigenvektoren \(\vec v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}\) , \(\vec v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix}\) und \(\vec v_3 = \begin{pmatrix} 1 \...
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Ein Eigenwert ist der Faktor, um den sich der Betrag eines Eigenvektors einer linearen Abbildung ändert, wenn er mit der Abbildungsmatrix multipliziert wird. Die Aufgabe, die unbekannten Eigenwerte e i (und Eigenvektoren \(\vec v_i\) ) zu einer gegebenen Matrix A zu finden, heißt Eigenwertproblem . Es soll dabei gelten: \(A\cdot \vec v_i = e_i \cdot \vec v_i \ \ \Leftrightarrow \ \ \left( A - e_i \cdot \bf 1 \right) \cdot \vec v_i = 0\) ( 1 ist die Einheitsmatrix.) In Komponenten sieht dies (für dreidimensionale Vektoren) so aus: \(\begin{pmatrix} a_{11} - e_i& a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_...
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Eine Orthogonalmatrix ist eine quadratische Matrix , deren Transponierte gleich ihrem Inversen ist: A T = A –1 bzw. A T A = AA T = 1 . Die Determinante einer Orthogonalmatrix beträgt immer genau +1 oder –1. Orthogonalmatrizen sind die Abbildungsmatrizen von Drehungen und/oder Spiegelungen.
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In der Analytischen Geometrie bezeichnet man reelle Zahlen auch als Skalare, und zwar insbesondere dann, wenn es um den Unterschied zwischen „normalen“ Zahlen und Vektoren oder Matrizen geht. So ist das Skalarprodukt von zwei Vektoren ein Skalar, d. h. eine Zahl, während das Vektorprodukt ( Kreuzprodukt ) von zwei Vektoren ein Vektor ist. Der Ausdruck „Skalar“ kommt vom italienischen Wort scala für „Leiter“, „Abstufung“ oder „Messskala“, soll also andeuten, dass man einfache Zahlen auf einer (einzelnen) Skala messen und vergleichen kann, während Vektoren mehrere Komponenten besitzen.
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Eine Matrix , mit der man den Übergang eines durch einen Zufallsvektor beschriebenen Systems von einem Zustand zum nächsten berechnen kann. Dies ist dann möglich, wenn man die gegenseitige Beeinflussung der Systemgrößen, also der Zufallsvariablen , welche die Komponenten des Zufallsvektors bilden, mit einem lineares Gleichungssystem beschreiben kann. Konstante äußere Einflüsse werden durch die Addition eines festen Vektors berücksichtigt (dieser Fall wird in der Schule aber nur selten behandelt). Wenn man das Modell über sehr viele Zeitschritte betrachtet, also einen anfänglichen Startvektor...