Das Additionsverfahren ist eine der Standardmethoden zum Lösen von linearen Gleichungssystemen (LGS) . Es hat seinen Namen daher, dass Gleichungen so addiert werden, dass mindestens eine Variable sich „heraushebt“, also in der addierten Gleichung nicht mehr auftaucht. Führt man das bei n Gleichungen ( n – 1)-mal durch, erhält man eine Gleichung mit nur noch einer Variablen, die unmittelbar gelöst werden kann. Rückeinsetzen ergibt dann Schritt für Schritt die Lösungen für die übrigen Variablen. Das Additionsverfahren ist ein wichtiger Bestandteil des Gauß’schen Eliminationsverfahrens . Damit...
Die nach dem Schweizer Mathematiker Gabriel Cramer benannte cramersche Regel ermöglicht die Lösung eines linearen Gleichungssystems (LGS) mithilfe von Determinanten . Da das Verfahren mit zunehmender Zahl von Variablen und/oder Gleichungen schnell ziemlich unübersichtlich wird, werden im Folgenden nur zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten betrachtet. Nach der cramerschen Regel hat das LGS (I) \(a_{11}x_1 + a_{12}x_2 = b_1\) (II) \(a_{21}x_1 + a_{22}x_2 = b_1\) mit reellen Koeffizienten a ij und b i genau eine Lösung ( x 1 | x 2 ), wenn \(D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}...
Wenn alle Einträge einer Matrix außer für i = j null sind, also wenn \(i \ne j \ \Rightarrow \ a_{ij} = 0\) , dann nennt man die Matrix eine Diagonalmatrix . Der Name kommt daher, dass nur in der von oben links nach unten rechts verlaufenden Diagonalen der Matrix von null verschiedene Einträge stehen. Beispiel: \(\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{pmatrix}\) Wenn die Koeffizientenmatrix eines linearen Gleichungssystems (LGS) Diagonalform hat, kann man die Lösungen direkt ablesen, deswegen spielt das Diagonalisieren von Matrix in der Linearen Algebra eine große Rolle.
Wenn alle Einträge a ij einer Matrix A = ( a ij ) unterhalb der von oben links nach unten rechts verlaufenden Diagonalen null sind, nennt man die Matrix eine obere Dreiecksmatrix . Es gilt also in diesem Fall \(i > j \ \Rightarrow \ a_{ij} = 0\) Beispiel: \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 5 & 6 \\ 0 & 0 & 9 \end{pmatrix}\) Bei einer unteren Dreiecksmatrix gilt entsprechend \(i < j \ \Rightarrow \ a_{ij} = 0\) . Wenn man es schafft, die Koeffizientenmatrix eines linearen Gleichungssystems (LGS) in obere Dreiecksform zu bringen, hat man sozusagen gewonnen, denn dann kann man durch sukzessives...
Das Einsetzungsverfahren ist eine der Standardmethoden zum Lösen von linearen Gleichungssystemen (LGS) . Man löst dabei eine Gleichung nach einer Variablen auf und setzt dann den sich ergebenden Term in die anderen Gleichungen ein, in denen diese Variable dann nicht mehr auftaucht. Wenn man das bei n Gleichungen ( n – 1)-mal macht, erhält man eine Gleichung mit nur noch einer Variablen, die unmittelbar gelöst werden kann. Rückeinsetzen ergibt dann Schritt für Schritt die Lösungen für die übrigen Variablen. Beispiel: \(\begin{matrix} &(\text I)& x_1 &+& x_2 &+& x_3 &=& 1 \\ &(\text{II})& 2 x_1...
Das Gaußsche Eliminationsverfahren oder Gauß-Verfahren (nach Carl Friedrich Gauß ) ist eine Standardmethode zum Lösen von linearen Gleichungssystemen (LGS) . Dabei wird das zu lösende Gleichungssystem durch Äquivalenzumformungen (vgl. Additionsverfahren ) und ggf. durch Vertauschen von Gleichungen auf Stufenform gebracht. Anschließend kann schrittweise („von unten nach oben“) nach den Variablen aufgelöst werden. Beispiel: \(\begin{matrix} (\text I)& 4 x_1 &-& x_2 &+& 3 x_3 &=& - 1 \\ (\text {II})& - x_1 &+& x_2 &-& x_3 &=& 1 & \\ (\text {III})& 2 x_1 &+& x_2 &-& 4 x_3 &=& - 2 \end{matrix}\) \...
Das Gleichsetzungsverfahren ist eine der Standardmethoden zum Lösen von linearen Gleichungssystemen (LGS) . Man formt dabei zwei Gleichungen so um, dass auf der einen Seite jeweils dieselbe Variable mit gleichem Koeffizienten steht, sodass die anderen Seiten der beiden Gleichungen gleichgesetzt werden können. Dadurch wird eine Variable eliminiert.Führt man das bei n Gleichungen ( n – 1)-mal durch, erhält man eine Gleichung mit nur noch einer Variablen, die unmittelbar gelöst werden kann. Rückeinsetzen ergibt dann Schritt für Schritt die Lösungen für die übrigen Variablen. Beispiel: \(\begin...
Ein lineares Gleichungssystem (LGS) heißt homogen , wenn alle Koeffizienten auf der rechten Seite alle gleich null sind . In Matrixschreibweise ( \(A\vec x = \vec b\) ) bedeutet dies, dass der Vektor \(\vec b\) auf der rechten Seite gleich dem Nullvektor ist ( \(\vec b = \vec 0\) ). Wenn \(\vec b \ne \vec 0\) , dann gibt es mindestens einen von 0 verschiedenen Koeffizienten auf der rechten Seite und das LGS ist inhomogen . Komponentenweise ( hier mit 3 Unbekannten) sieht dies so aus: homogenes LGS inhomogenes LGS \(\begin{matrix} \text{(I)} &a_{11}x& +& a_{12}y&+&a_{13}z&= &0\\ \text{(II)}...
Man kann bei einem linearen Gleichungssystem (LGS) die Koeffizienten auf den linken Seiten der Gleichungen (also die Vorfaktoren vor den Variablen) zu einer Matrix zusammenfassen, die man naheliegenderweise die Koeffizientenmatrix nennt. Wenn das System z. B. aus drei Gleichungen und drei Variablen (Unbekannten) besteht, \(\begin{matrix} &(\text I) &a_{11} x_1 &+& a_{12} x_2 &+& a_{13} x_3 &=& b_1 \\ &(\text{II}) &a_{21} x_1 &+& a_{22} x_2 &+& a_{23} x_3 &=& b_2 \\ &(\text{III}) &a_{31} x_1 &+& a_{32} x_2 &+& a_{33} x_3 &=& b_3 \end{matrix}\) ist die Koeffizientenmatrix die Matrix \(A =\begin...