Die Determinante ist eine Funktion, die jeder quadratischen Matrix auf zunächst etwas willkürlich scheinende, aber eindeutige Weise eine Zahl zuordnet. Das Besondere daran ist, dass man mithilfe der Determinante wichtige Informationen über die Matrix und ihre Spalten- bzw. Zeilenvektoren gewinnt. In zwei Dimensionen , also für die „ zweireihige “ Determinante einer 2×2-Matrix A , lautet die Definition: \(\det A = \det \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \equiv \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21} \) In...
Zwei Vektoren sind linear abhängig , wenn sie – anschaulich gesprochen – in dieselbe Richtung zeigen ( kollinear sind), drei Vektoren sind linear abhängig, wenn sie in derselben Ebene liegen ( komplanar sind) oder sogar alle drei in dieselbe Richtung zeigen. Formaler definiert man die lineare Abhängigkeit so, dass eine Menge von n Vektoren dann linear abhängig ist, wenn sich mindestens einer von ihnen als Linearkombination der anderen schreiben lässt. Bei linear unabhängigen Vektoren ist das nicht möglich. (Beispielsweise kann man einen Vektor, der „nach oben“ zeigt, nicht aus zwei Vektoren...
Wenn mehrere lineare Gleichungen gleichzeitig erfüllt sein sollen, nennt man dies ein lineares Gleichungssystem ( LGS ). Wenn es z. B. die drei Variabeln x 1 , x 2 und x 3 gibt, sieht ein allgemeines LGS aus drei Gleichungen folgendermaßen aus: \(\begin{matrix} \text{(I)} &a_{11}x_1& +& a_{12}x_2&+&a_{13}x_3&= &b_1\\ \text{(II)} &a_{21}x_1& +& a_{22}x_2&+&a_{23}x_3&= &b_2\\ \text{(III)} &a_{31}x_1& +& a_{32}x_2&+&a_{33}x_3&= &b_3 \end{matrix}\) Die reellen Zahlen \(a_{11}, ... , a_{33}\) heißen die Koeffizienten . Wenn man diese zur Koeffizientenmatrix A = ( a ij ), die drei Variablen zum...
Eine Matrix ist zunächst einmal einfach eine Tabelle, deren Komponenten , Einträge oder Koeffizienten Zahlen sind. Wenn eine Matrix m Zeilen und n Spalten hat, nennt man sie eine „ m × n -Matrix“ (lies: „ m -Kreuz- n -Matrix“). Was solch ein Schema mathematisch interessant macht, ist einerseits, dass es Rechenregeln gibt, nach denen man Matrizen z. B. addieren, subtrahieren oder multiplizieren kann, und andererseits, dass man mit Matrizen ganz unterschiedliche Probleme aus verschiedenen Teilgebieten der Mathematik beschreiben und lösen kann: In der Analytischen Geometrie entsprechen eine...