Lineare Abbildungen – Lexikoneinträge
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In der Analytischen Geometrie versteht man unter einer Abbildungsmatrix eine Matrix , die eine lineare Abbildung ( Drehung , Verschiebung , Spiegelung ) zwischen Vektoren beschreibt. Eine lineare Abbildung f zwischen zwei Vektoren \(\overrightarrow{x}\) und \(\overrightarrow{x}'\) (bzw. zwischen zwei Vektormengen bzw. Vektorräumen X und \(X'\) ) kann man formal wie eine proportionale Zuordnung bzw. Funktion zwischen normalen Zahlen schreiben: \(f: X \longrightarrow X', \ \overrightarrow{x} ' = f(\overrightarrow{x}) = A \cdot \overrightarrow{x} \) Dabei sind \(\overrightarrow{x} \in X\) der...
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Ein Eigenvektor ist ein Vektor , dessen Richtung sich bei einer linearen Abbildung , d. h. bei Multiplikation mit einer Abbildungsmatrix , nicht ändert. Das bedeutet, dass der Vektor bei dieser Abbildung höchstens länger oder kürzer (also „ skaliert “), aber nicht gedreht wird. Der Skalierungsfaktor heißt dann Eigenwert . Beispiel: Die Matrix A = \(\begin{pmatrix} 3 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 \end{pmatrix}\) hat die Eigenvektoren \(\vec v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}\) , \(\vec v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix}\) und \(\vec v_3 = \begin{pmatrix} 1 \...
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Ein Eigenwert ist der Faktor, um den sich der Betrag eines Eigenvektors einer linearen Abbildung ändert, wenn er mit der Abbildungsmatrix multipliziert wird. Die Aufgabe, die unbekannten Eigenwerte e i (und Eigenvektoren \(\vec v_i\) ) zu einer gegebenen Matrix A zu finden, heißt Eigenwertproblem . Es soll dabei gelten: \(A\cdot \vec v_i = e_i \cdot \vec v_i \ \ \Leftrightarrow \ \ \left( A - e_i \cdot \bf 1 \right) \cdot \vec v_i = 0\) ( 1 ist die Einheitsmatrix.) In Komponenten sieht dies (für dreidimensionale Vektoren) so aus: \(\begin{pmatrix} a_{11} - e_i& a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_...
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Eine Orthogonalmatrix ist eine quadratische Matrix , deren Transponierte gleich ihrem Inversen ist: A T = A –1 bzw. A T A = AA T = 1 . Die Determinante einer Orthogonalmatrix beträgt immer genau +1 oder –1. Orthogonalmatrizen sind die Abbildungsmatrizen von Drehungen und/oder Spiegelungen.