Lagebeziehungen – Lernwege
Lagebeziehungen – Lexikoneinträge
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Mit dem Begriff „ Lagebeziehung “ fasst man man in der Geometrie die Fragen nach Parallelität , Orthogonalität und gemeinsamen Punkten (Schnittpunkten bzw. -geraden) von Objekten zusammen. Während dies in der Ebene (also der zweidimensionalen Geometrie) oft noch relativ leicht zu beantworten ist (im Zweifelsfall mithilfe der Winkelfunktionen ), braucht man im Raum dafür die Mittel der Analytischen Geometrie . Im Einzelnen betrachtet man Die Lage zweier Geraden : Wenn zwei Geraden keine gemeinsamen Punkte haben, sind sie parallel oder windschief , andernfalls haben sie entweder genau einen...
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Ein Normalenvektor \(\vec n\) ist dadurch definiert, dass er auf einer gegebenen Ebene , Fläche oder Gerade senkrecht steht. Wenn der Normalenvektor den Betrag 1 hat (normiert ist), nennt man ihn Normaleneinheitsvektor und schreibt \(\vec n_0\) oder \(\hat n\) . Eine Gerade in Richtung des Normalenvektors heißt Normale . Der senkrechte Abstand eines Punkts von einer Ebene oder Geraden ist die Distanz des Punkts auf der Normalen vom Schnittpunkt mit der Ebene bzw. Geraden, also dem Lotfußpunkt. Am einfachsten berechnet man einen Normalenvektor einer Ebene mit dem Kreuzprodukt der beiden...
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Zwei Geraden heißen windschief , wenn sie weder parallel sind noch einen Schnittpunkt haben. Dies ist nur im dreidimensionalen Raum möglich, in der Ebene schneiden sich nicht parallele Geraden immer . Ein Kriterium dafür, dass zwei Geraden im Raum zueinander windschief stehen, ist, dass beide Richtungsvektoren und der Differenzvektor (Verbindungsvektor) eines beliebigen Punkts auf der einen Geraden und eines Punkts auf der anderen voneinander linear unabhängig sind. Beispiel: \(g\! : \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} + \lambda \cdot...