Kreis – Lernwege
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Was ist ein Mittelpunktswinkel und eine Bogenlinie?
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Was ist eine Kreisbewegung?
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Was ist ein Kreisring und Kreisausschnitt?
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Was sind Kreisumfang und Kreisfläche in Mathe?
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Was ist der Radius und die Kreiszahl Pi?
Kreis – Lexikoneinträge
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In der Geometrie ist die Bogenlänge eines Abschnitts einer Kreislinie , also eines Kreisbogens . Am Kreis definiert man das Winkelmaß Bogenmaß als Verhältnis von Bogenlänge und Radius des zu einem gegebenen Winkel gehörenden Kreisabschnitts. Allgemein und insbesondere auch in der Analysis versteht unter der Bogenlänge die Länge einer gekrümmten Kurve. Wenn die Kurve der Graph einer ( differenzierbaren ) Funktion f ( x ) ist, kann man die Bogenlänge L über das folgende bestimmte Integral ausrechnen: \(\displaystyle L = \int_a^b \sqrt{1 + [f'(x)]^2} \text dx\)
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In der Geometrie versteht man unter den Grundkonstruktionen die im Folgenden dargestellten Aufgaben, wobei es immer darauf ankommt, nur mit Zirkel und Lineal zu arbeiten – und das Lineal darf nur zum Zeichnen, nicht zum Messen verwendet werden! Eine andere häufige auftretende Konstruktionsaufgabe besteht darin, ein Dreieck aus drei sog. Hauptgrößen (Seitenlängen und Winkel) zu konstruieren , ebenfalls nur mit Zirkel und Lineal. Dies wird aber meist nicht zu den Grundkonstruktionen gezählt. 1. Abtragen einer Strecke (1) Kreisbogen um \(P\) mit \(r = \overline{AB}\) zeichnen \(\Rightarrow\) P...
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In der Geometrie ist der Inkreis ein Kreis , der alle Seiten eines Polygons ( Vielecks ) genau einmal berührt. Eine Polygon hat immer dann einen Inkreis, wenn sich die Winkelhalbierenden aller Seiten in einem Punkt schneiden. Dieser Schnittpunkt ist dann der Mittelpunkt des Inkreises. Vierecke , die einen Inkreis haben, nennt man Tangentenvierecke . Dreiecke haben immer einen Inkreis.
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Wenn man den Mantel eines Kegels parallel zu einer Ebene schneidet, erhält man je nach Neigungswinkel vier verschiedene Schnittkurven, die man dementsprechend Kegelschnitte nennt: einen Kreis (bzw. eine Kreislinie), eine Ellipse , eine Parabel oder eine Hyperbel . Diese Kurven spielen nicht nur in der Geometrie , sondern auch der Analysis eine wichtige Rolle. So ist die Parabel der Graph einer quadratischen Funktion und die Hyperbel der Graph der Funktion \(y = f(x) = \displaystyle \frac 1 x\) . Übrigens: Alle Bahnen von Himmelskörpern im Sonnensystem sind Kegelschnitte: Die Erdbahn, Mondbahn...
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Ein Kreis ist eine geometrische Kurve bzw. Figur , für die es zwei mögliche Definitionen gibt: Alle Punkte, die von einem gegebenen Punkt den gleichen Abstand haben, dieser Punkt ist der Mittelpunkt M des Kreises. Der konstante Abstand zum Mittelpunkt ist der Radius r des Kreises. So definiert ist ein Kreis eine gekrümmte, in sich geschlossene Linie bzw. Kurve. Alle Punkte, die von einem gegebenen Punkt höchsten einen bestimmten Abstand r haben, dieser Punkt ist der Mittelpunkt des Kreises. In diesem Fall ist der Kreis eine „gefüllte“ runde Fläche. Um Missverständnissen vorzubeugen, sollte man...
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Die Kreiszahl \(\pi\) („Pi“, auch: Ludolph’sche Zahl ) ist eine irrationale Zahl , die in vielen Gebieten der Mathematik eine große Rolle spielt. In der Geometrie ist sie das Verhältnis aus Umfang U und Durchmesser d eines Kreises mit Radius r : \(\pi = \displaystyle \frac U d \ \Leftrightarrow \ U = 2\pi r\) Dies gilt für jeden beliebigen Kreis – das bedeutet, dass alle Kreise einander im geometrischen Sinn ähnlich sind. Auf 31 Nachkommastellen genau ist \(\pi\) = 3,141.592.653.589.793.238.462.643.383.279.5… Brauchbare Näherungswerte für \(\pi\) sind 3,14, \(\displaystyle 3\!\frac 1 7\) ...
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Eine Passante ist eine Gerade , die mit einem gegebenen Kreis keinen gemeinsamen Punkt hat (ihn also „passiert“, ohne ihn zu berühren). In der Skizze ist die Gerade p eine Passante . t ist eine Tangente (genau ein Berührpunkt), s ist eine Sekante (zwei Schnittpunkte).
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Bei einem Kreis ist der Radius r die konstante Entfernung zwischen dem Mittelpunkt und einem Punkt auf der Kreislinie. Der Radius einer Kugel ist analog dazu der konstante Abstand zwischen dem Mittelpunkt und einem beliebigen Punkt auf der Oberfläche der Kugel. Oft spricht man auch bei nur annähernd kugelförmigen Körpern wie etwa der Erde vom Radius, der „Erdradius“ variiert zwischen 6357 km an den Polen und 6378 am Äquator. Flächeninhalt und Umfang eines Kreises bzw. und Volumen und Oberfläche einer Kugel sind direkte Funktionen des Radius. Kreis Flächeninhalt \(A = \pi \cdot r^2\) Umfang \...
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Der Satz des Thales besagt in seiner Kurzform „Jeder Winkel im Halbkreis ist ein rechter". Etwas ausführlich ist jedes Dreieck , bei dem zwei Ecken den Durchmesser eines Kreises begrenzen und dessen dritte Ecke ebenfalls auf der Kreislinie liegt, rechtwinklig . Oder: Jeder Winkel, dessen Scheitelpunkt auf einer Kreislinie liegt und dessen Schenkel diese Kreislinie auf zwei gegenüberliegenden Punkten schnieden, ist rechtwinklig. Umgekehrt kann man auch sagen, dass der Umkreismittelpunkt eines rechtwinkligen Dreiecks in der Mitte der Hypotenuse liegt. Außer über den Satz vom Umkreismittelpunkt...
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Eine Sehne ist eine Strecke , die zwei Punkte auf der Begrenzungslinie eines Kreises , also der Kreislinie, verbindet. Alternativ kann man auch sagen, dass eine Sehne der Abschnitt einer die Kreislinie zweimal schneidenden Geraden , d. h. einer Sekante ist, der innerhalb des Kreises liegt. Wenn \(\overline{AB}\) eine Sehne des Kreises mit dem Mittelpunkt M ist, dann heißt \(\measuredangle\) \(AMB\) Mittelpunktswinkel .
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Eine Sekante ist eine Gerade , die einen gegebenen Kreis in genau zwei Punkten schneidet (lat. „secare“ heißt abschneiden). Verläuft die Sekante durch den Mittelpunkt M , nennt man sie auch Mittelpunktsgerade oder Zentrale . In der Skizze ist die Gerade s eine Sekante . t ist eine Tangente (genau ein Berührpunkt), p eine Passante (gar kein gemeinsamer Punkt mit dem Kreis).
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Ein Sektor (Kreissektor, Kreisausschnitt) ist ein Teil der Kreisfläche , der von zwei Radien ( \(\overline{AM}\) und \(\overline{BM}\) , \(\left|\overline{AM}\right| = \left|\overline{AM}\right| = r\) ) und dem dazwischen liegenden Kreisbogen \(\widehat{AB}\) mit der (Bogen-)Länge \(b = \left|\widehat{AB}\right|\) begrenzt wird. Der vom Sektor aufgespannte Mittelpunktswinkel ist im Bogenmaß \(\alpha = \displaystyle \frac b r\) . Die Fläche des Sektors beträgt im Bogenmaß \(\displaystyle A_\text{Sektor} = \pi r^2\cdot \frac{\alpha}{2\pi} = \alpha \cdot \frac{r^2}{2}\) . Im Gradmaß ist \(...