Konvergenz – Lexikoneinträge
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Der Grenzwert einer Funktion wird ähnlich definiert wie der Grenzwert einer Zahlenfolge , allerdings muss man zwei verschiedene Situationen unterscheiden (vgl. auch die Grenzwertsätze für Funktionen ): Der Grenzwert an einer bestimmte Stelle (einem x -Wert) x 0 . Dieser spielt einerseits eine Rolle bei der Definition und Untersuchung der Stetigkeit und Differenzierbarkeit einer Funktion, andererseits an Definitionslücken und Polstellen , an denen die Funktionswerte über alle Grenzen wachsen oder fallen. Der Grenzwert für \(x \rightarrow \pm \infty\) , also wenn der x -Wert gegen plus oder...
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Wenn sich eine Zahlenfolge ( a n ) mit wachsendem n beliebig dicht an einen bestimmten Wert g annähert, nennt man diese Zahl g den Grenzwert der Folge. Man sagt auch, dass die Folge gegen g konvergiert . Wenn eine Folge keinen Grenzwert hat, dann divergiert sie (bzw. ist sie divergent ). Eine Folge mit dem Grenzwert 0 ist eine Nullfolge . Da die Partialsummen einer Reihe wiederum eine Folge bilden, kann man auch mögliche Grenzwerte von Reihen untersuchen. Wenn die Folge ( a n ) den Grenzwert g hat, dann sind höchstens endlich viele (auf mathematisch heißt das so gut wie keine, auch wenn es...
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Eine Zahlenfolge mit dem Grenzwert 0 nennt man eine Nullfolge . Beispiele: Rationale Terme , bei den das Nennerpolynom von höherem Grad ist als das Zählerpolynom: \(\displaystyle \left( \frac{1}{n^2} \right)\) , \(\displaystyle \left( \frac{2-n}{n^3} \right)\) usw. Auch alternierende Folgen können Nullfolgen sein, z. B. \(\displaystyle \left( \frac{ (-1)^n}{n} \right)\) . (e – n ), vgl. die Exponentialfunktion . Wenn eine Folge ( a n ) den Grenzwert g hat, dann ist die Folge ( a n – g ) eine Nullfolge.