Integration – Klassenarbeiten
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Die Buche ist ein in weiten Teilen Europas heimischer Laubbaum. Ein Biologe modelliert das Höhenwachstum von Buchen durch Funktionen \(f_a\) mit der Gleichung \(f_a(t)=a \cdot (1-e^{-0,02 \cdot t})^2 ;\quad t \geq 0\) und dem Parameter \(a \geq 0\) . (Die Funktion \(f_a\) ist für alle \(t \in \mathbb{R}\) definiert, wird aber nur für \(t \geq 0\) zur Modellierung verwendet.) Dabei wird \(t\) als Maßzahl zur Einheit 1 Jahr, \(f_a(t)\) als Maßzahl zur Einheit \(1\ m\) aufgefasst. Der Zeitpunkt des Keimens des Buchensamens wird durch \(t=0\) festgelegt.
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Ein Ölfeld wird seit Beginn des Jahres 1990 mit Bohrungen in mehreren Erdöl führenden Schichten erschlossen. Die momentane Förderrate 1 aus diesem Ölfeld im Zeitraum von Anfang 1990 bis Ende 2009 kann im Intervall \( [0;20]\) durch die Funktion \(f\) mit der Gleichung \(f(t)=(1020-40t) \cdot e^{0,1 \cdot t};\quad t \in \mathbb R\) modelliert werden. Dabei wird \(t\) als Maßzahl zur Einheit 1 Jahr und \( f(t)\) als Maßzahl zur Einheit 1000 Tonnen pro Jahr aufgefasst. Der Zeitpunkt \( t=0\) entspricht dem Beginn des Jahres 1990. Der Graph von \(f\) ist in der Abbildung 1 in dem für die
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Integration – Lexikoneinträge
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Die Partialbruchzerlegung ermöglicht es, d as Integrieren von gebrochenrationale Funktionen auf Integrale von Standardfunktionen zurückzuführen. Man formt dabei den Funktionsterm so um, dass aus dem beliebig komplizierten Quotienten zweier Polynomfunktionen eine Summe aus möglicherweise vielen, aber dafür einfachen Summanden wird. (Im allgemeinen Fall sieht das zunächst etwas unübersichtlich aus, das anschließende Beispiel ist dann aber wieder ganz gut überschaubar!) \(\displaystyle f(x) = \frac{ Z(x) }{N(x)} = P(x) + \sum \text{Polstellen-Terme} + \sum \text{Quadratfaktor-Terme}\) \(...
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Die partielle Integration ist als Integrationsverfahren die „Umkehrung“ der Produktregel beim Ableiten . Sie beruht auf folgender Überlegung: Sind die Funktionen u und \(v\) im Intervall [ a ; b ] differenzierbar , so ist auch die zusammengesetzte Funktion \(f = u \cdot v\) in [ a ; b ] differenzierbar, und es gilt nach der Produktregel für alle \(x \in [a; b]\) : \(\displaystyle f' (x) = [u (x) \cdot v (x)]' = u' (x) \cdot v (x) + u (x) \cdot v' (x)\) . \(\Rightarrow \ \ \displaystyle \int_a^b\! f'(x)\, \text dx = \int_a^b\! u' (x) \cdot v (x)\,\text dx + \int_a^b\! u (x) \cdot v' (x)\...