Grundrechenarten – Lernwege
Grundrechenarten – Klassenarbeiten
Grundrechenarten – Lexikoneinträge
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Die Addition ist wohl die „grundlegendste“ Grundrechenart . Sie lässt sich direkt aus dem Zählen mit natürlichen Zahlen ableiten und unmittelbar verstehen. Man schreibt solch einen Rechenausdruck mit dem Pluszeichen „+“ (Plus heißt auf Lateinisch „mehr“). Die beiden Zahlen, die addiert bzw. zusammengezählt werden, heißen Summanden , das Ergebnis „ Wert der Summe “ oder einfach Summe. Beispiel: Für die Addition gelten die beiden fundamentalen Rechengesetze Kommutativgesetz \(a + b =b+a\) Assoziativgesetz \((a+b)+ c=a+ (b+c)\) In Verbindung mit der Multiplikation gilt zudem das...
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Das Assioziativgesetz , Verbindungsgesetz oder „ Klammergesetz “ ist ein grundlegendes Rechengesetz. Es besagt, dass man bei Addition und Multiplikation (bzw. bei allen Rechenarten und -operationen, bei denen es gilt) beliebig Klammern setzen oder weglassen kann: \(\begin{matrix}(a + b) + c &=& a + (b + c)\\ (a · b) · c &=& a · (b · c)\end{matrix} \) Beispiele: \(\begin{matrix} (10 + 8) + 6 &=& 18 + 6 &=& \mathbf{24} &=& 10 + 14 &=& 10 + (8 + 6)\ \(2 · 4) · 6 &=& 8 · 6 &=& \mathbf{48} &=& 2 · 24 &=& 2 · (4 · 6)\end{matrix} \) Mithilfe von negativen Vorzeichen („Minus“) und Kehrwerten kann...
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Das Ausklammern ist eine Termumformung (und auch eine Äquivalenzumformung ), bei welcher mithilfe des Distributivgesetzes eine Summe faktorisiert , d. h. ein Faktor aus einer Summe „vor die Klammer gezogen“ wird. Allgemein ersetzt man einen Ausdruck der Form a · b + a · c durch einen Ausdruck der Form a · ( b + c ). Der Trick besteht oft darin, den gemeinsamen Faktor a in den beiden Summanden zu erkennen. Beispiele: 111 + 74 = 37 · 3 + 37 · 2 = 37 · (3 + 2) = 37 · 5 = 185 5 xy + 20 ab = 5 · 3 xy + 5 · 4 ab = 5 · ( 3 xy + 4 ab ) 4 x 2 – 6 xy = 2 x (2 x – 3 y ) Treten nur teilweise gleiche...
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Das Ausmultiplizieren ist eine Termumformung (und auch eine Äquivalenzumformung ), bei welcher mithilfe des Distributivgesetzes Klammerausdrücke aufgelöst, d. h. in Produkte von Termen in Summen umgewandelt werden. Allgemein ersetzt man einen Ausdruck der Form \(a · (b + c) \) durch einen Ausdruck der Form \(a · b + a · c\) . Beispiele: 12 · (3 + 7) = 12 · 3 + 12 · 7 = 36 + 84 3 a · ( b + 1) = 3 a b + 3 a Oft muss man auch mehrfach ausmultiplizieren: ( x – 1) · ( x + 2) = ( x – 1) · x + ( x – 1) · 2 = x 2 – x – 2 Anmerkung: Wenn man möchte, kann man dies mithilfe der dritten binomischen...
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Der Begriff „Bruch“ wird in der Mathematik in mehreren, leicht verschiedenen Bedeutungen gebraucht: Ein Bruch ist zunächst einfach eine andere Schreibweise für eine Division , denn man kann statt „ a : b “ immer auch „ \(\dfrac a b\) “ schreiben. Dabei ist a jeweils der Dividend (das, was geteilt wird) und b der Divisor (das, wodurch geteilt wird). Die Zahl über dem Bruchstrich heißt In Bruchschreibweise Zähler , die Zahl unter dem Bruchstrich ist der Nenner . Das Ergebnis der Division (der Quotient oder das Verhältnis ) wird dann einfach „Bruch“ genannt. Anmerkung: Man kann auf sehr einfache...
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Das Distributivgesetz oder Verteilungsgesetz ist ein grundlegendes Rechengesetz, das für die Verbindung von Addition und Multiplikation gilt. Es bildet die Grundlage der wichtigen Termumformungen Ausmultiplizieren und Ausklammern . Es lautet : \(\begin{matrix} a · (b + c) &=& a · b + a · c &\text{bzw.}& a · (b\ –\ c) &=& a · b\ –\ a · c \\ (a + b) · c &=& a · c + b · c &\text{bzw.} & (a\ –\ b) · c &=& a · c\ –\ b · c \end{matrix} \) Beispiele: \(\begin{matrix} 3 · (4 + 5) &=& 3 · 4 + 3 · 5 &=& 12 + 15 &=& \bf{27} &=& 3 · 9 &=& 3 · (4 + 5) \\ 5 · (4\ –\ 3) &=& 5 · 4\ –\ 5 · 3 &=& 20\ –\ 15 &=&...
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Die Division bzw. das Teilen ist die Umkehroperation zur Multiplikation ( Malnehmen ): \(\displaystyle a \cdot b = c \ \ \Leftrightarrow \ \ a = c : b\) bzw. \(\displaystyle 5 \cdot 6 = 30 \ \ \Rightarrow \ \ 5 = 30 : 6\) Ein Rechenausdruck, in dem eine Zahl durch eine andere Zahl (oder ein Term durch einen anderen) dividiert wird, ist ein Quotient (manchmal auch „ Verhältnis “). Die Zahl links vom Doppelpunkt heißt Dividend (lateinisch: „das zu Teilende“), die rechts davon Divisor (lateiner: „das, was teilt“ bzw. der Teiler). Das Ergebnis einer Division heißt Wert des Quotienten oder auch...
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In der Prozentrechnung ist der Grundwert G die Bezugsgröße bzw. „das Ganze“, von dem ein bestimmter Teil als Prozentwert W betrachtet wird. Der relative Anteil bzw. der Bruchteil, den W von G darstellt, ist der Prozentsatz p %: \(\dfrac W G = p\, \%\) Beispiel: In einer Tüte sind G = 80 Gummibärchen. Davon hat der kleine Bruder W = 24 aufgegessen. Es ist also ein prozentualer Anteil von \(\dfrac W G = \dfrac {24}{80} = 0,3 = 30\, \%\) nicht dort gelandet, wo ich es haben wollte.
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Wenn es bei einer Rechenoperation zu einer Zahl (oder sonstigen mathematischen Sache) eine andere Zahl (Sache) gibt, sodass bei der Rechenoperation das neutrale Element der Operation herauskommt, dann nennt man dieses Element das zum ersten Element inverse Element der Operation. Beispiele: Bei der Addition ist das inverse Element zur Zahl x ihre Gegenzahl – x , denn x + (–x) = 0 ( \(x \in \mathbb R\) ). Bei der Multiplikation ist das inverse Element zu x sein Kehrwert \(\dfrac 1 x\) , denn \(x \cdot \dfrac 1 x = 1 \ \ (x \in \mathbb R)\) . Bei der Vektoraddition ist das inverse Element zum...
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Der Kehrwert \(\dfrac 1 x\) einer rationalen oder reellen Zahl x ist ihr inverses Element bezüglich der Multiplikation , also die Zahl, die mit x malgenommen die Zahl 1 ergibt (das neutrale Element der Multiplikation): \(x \cdot \dfrac 1 x = 1 \ \ (x \in \mathbb R)\) Der Kehrwert einer ganzen Zahl ist ein Stammbruch , der Kehrwert eines Stammbruchs immer eine ganze Zahl. Man erhält den Kehrwert eines beliebigen Bruches , indem man einfach Zähler und Nenner vertauscht: \(\dfrac a b \mapsto \dfrac b a\) Die Division von Brüchen bzw. das Auflösen von Doppelbrüchen lässt sich mit dem Kehrwert...
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Die Klammerregeln sind Rechenregeln , die insbesondere bei den Grundrechenarten (aber nicht nur dort!) angeben, in welcher Reihenfolge ein Term (Rechenausdruck) auszurechnen ist. Klammern mit positivem Vorzeichen können wegfallen: +(2 a – b ) = 2 a – b Klammern mit negativen Vorzeichen können wegfallen, dabei muss aber bei jedem Summanden in der Klammer das Vorzeichen wechseln: –( a + b – c ) = – a – b + c Ein Faktor vor einer Klammer wird mit jedem Glied in der Klammer multipliziert ( Ausmultiplizieren ): 3( a + 2 b – 3 c ) = 3 a + 6 b – 9 c Klammern werden auch gesetzt, um deutlich zu machen...
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Das Kommutativgesetz oder Vertauschungsgesetz ist ein grundlegendes Rechengesetz, das für die Addition und Multiplikation von Zahlen sowie für die Addition von Vektoren und Matrizen und das Skalarprodukt von Vektoren gilt. Das Kreuzprodukt von Vektoren und die Matrizenmultiplikation sind dagegen nicht kommutativ! Für die Addition und Multiplikation lautet das Kommutativgesetz: \(\begin{matrix}a + b &=& b + a\\ a · b &=& b · a \end{matrix}\) Beispiele: \(\begin{matrix}3 + 5 &=& 8 &=& 5 + 3 \\ 4 · 6 &=& 24 &=& 6 · 4 \end{matrix} \) Für Differenzen und Divisionen gilt das Kommutativgesetz...