Gleichungen – Lernwege
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Was ist eine Äquivalenzumformung?
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Gleichungen – Klassenarbeiten
Gleichungen – Lexikoneinträge
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Unter einer Exponentialgleichung versteht man einer Gleichung , in der eine Variable im Exponenten einer Potenz, d. h. als Argument einer Exponentialfunktion auftaucht, eine Logarithmusgleichung ist dementsprechend eine Gleichung mit einer Variablen in einem Logarithmusterm bzw. als Argument einer Logarithmusfunktion . Anmerkung: Natürlich kann man beliebig komplizierte Gleichung mit Exponential-, Logarithmus- und anderen noch seltsameren Termen aufstellen, meistens hat man es in der Schule aber „nur“ mit einer Sorte komplizierte Funktion pro Gleichung zu tun, also sozusagen mit „reinen“...
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Ein mathematischer Ausdruck, in dem zwei Terme T 1 und T 2 durch ein Gleichheitszeichen verknüpft sind, heißt Gleichung : T 1 = T 2 (steht dort statt „=“ ein anderes Verknüpfungszeichen wie z. B. „<“ oder „ \(\ne\) “, handelt es sich um eine Ungleichung ). T 1 nennt man (naheliegenderweise) „ linke Seite “ und T 2 „ rechte Seite “ der Gleichung. Treten in den Termen keine Variablen auf, so ist T 1 = T 2 eine Aussage . In diesem Fall lässt sich immer eindeutig feststellen, ob die Gleichung eine wahre oder eine falsche Aussage ist. Beispiele: 3 + 9 = 12 ist eine wahre Aussage 3 + 9 = 13 ist eine...
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Eine Probe oder Rechenprobe ist allgemein die Überprüfung eines mathematischen Ergebnisses auf einem anderen Rechenweg. Speziell bei Gleichungen bedeutet die Rechenprobe, dass man die gefundene(n) Lösung(en) in die ursprüngliche Gleichung einsetzt, um zu sehen, ob sie diese auch wirklich erfüllen. Achtung: Auch bei Ergebnissen, die man mit dem Taschenrechner oder sonstigen elektronischen Hilfsmitteln erhalten hat, empfiehlt eine zumindest überschlagsmäßige Probe – man kann sich immer vertippt haben!
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Gleichungen , bei denen die Variable unter einer Wurzel auftritt, heißen Wurzelgleichungen . Achtung: Bei Wurzelgleichungen muss die Definitionsmenge D so gewählt werden, dass unter der Wurzel keine negativen Werte auftreten können! Beispiele: \(\sqrt{2x+1}=x+1; \ \ D = \{x\in \mathbb R | x \ge -0,5 \}\) \(1+\sqrt{5x-1}=x+3,5; \ \ D = \{x\in \mathbb R | x \ge 0,2 \}\) \(\sqrt{x^2-6}=\sqrt{2x+2} ; \ \ D = \{x\in \mathbb R | x \ge \sqrt 6 \approx 2,45 \}\) Beim Lösen wird die Gleichung so umgestellt, dass der Wurzelterm auf einer Seite allein steht. Dann werden beide Seiten der Gleichung...