geometrie im raum – Lexikoneinträge
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Die Analytische Geometrie untersucht geometrische Aufgabenstellungen mit Mitteln aus Analysis und Algebra , sozusagen nach dem Prinzip „rechnen statt zeichnen“. Das zentrale Hilfsmittel dabei sind Vektoren , mit denen man einerseits Punkte , Strecken , Figuren oder Körper mathematisch präzise beschreiben kann und mit denen man andererseits (fast) wie mit gewöhnlichen Zahlen rechnen kann. Wichtige Themen sind: Geraden und Ebenen durch Gleichungen darstellen und ihre Eigenschaften und Lagebeziehungen berechnen Schnittpunkte , Schnittgeraden und Ähnliches berechnen Winkel im Raum bestimmen Affine...
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Geraden gehören zu den grundlegenden Objekten der Geometrie , es handelt sich dabei um im Alltagssinn „gerade“ Linien, die sich ohne Anfangs- und Endpunkt bis ins Unendliche erstrecken. Geraden sind Punktmengen , bei denen zwischen zwei Punkten immer noch unendlich viele weitere Punkte liegen – so wie bei der reellen Zahlengeraden , die tatsächlich auch eine Gerade im geometrischen Sinn ist. Eine Gerade g wird entweder durch zwei Punkte A und B eindeutig festgelegt oder durch einen Punkt A bzw. dessen Ortsvektor \(\vec a\) und einen Richtungsvektor \(\vec u\) (siehe unten), der angibt,...
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Ein kartesisches Koordinatensystem (nach dem Mathematiker und Philosophen René Descartes , der sich lateinisch „Cartesius“ nannte) zeichnet sich von anderen Koordinatensystemen durch folgende Eigenschaften aus: Seine Achsen sind Geraden . Seine Achsen stehen paarweise senkrecht aufeinander. Seine Achsen schneiden sich im selben Punkt, dem Ursprung (dies ist allerdings auch bei anderen Koordinatensystem fast immer der Fall). In zwei Dimensionen nennt man das kartesische Koordinatensystem auch Achsenkreuz . Es dient vor allem zur Darstellung von Funktionsgraphen , insbesondere auch bei...
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Mit dem Begriff „ Lagebeziehung “ fasst man man in der Geometrie die Fragen nach Parallelität , Orthogonalität und gemeinsamen Punkten (Schnittpunkten bzw. -geraden) von Objekten zusammen. Während dies in der Ebene (also der zweidimensionalen Geometrie) oft noch relativ leicht zu beantworten ist (im Zweifelsfall mithilfe der Winkelfunktionen ), braucht man im Raum dafür die Mittel der Analytischen Geometrie . Im Einzelnen betrachtet man Die Lage zweier Geraden : Wenn zwei Geraden keine gemeinsamen Punkte haben, sind sie parallel oder windschief , andernfalls haben sie entweder genau einen...
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Die Parameterform ist eine Möglichkeit, Geraden oder Ebenen durch eine Vektorgleichung darzustellen. Dabei ist in der Regel ein Punkt bekannt, der Aufpunkt , sowie ein Richtungsvektor der gesuchten Geraden bzw. zwei Spannvektoren der gesuchten Ebene. Man sagt daher manchmal auch „ Punkt-Richtungs-Form “ zu dieser Darstellung. Man kann eine Ebenengleichung in Parameterform relativ einfach in die Koordinatenform umwandeln (für Geraden funktioniert das ganz ähnlich, nur mit einer Komponente weniger). Beispiel: Eine Gerade g wird beschrieben durch den Aufpunkt A , zu dessen Ortsvektor \(\vec a\) ...
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Für den Winkel \(\varphi\) zwischen Vektoren \(\vec a\) und \(\vec b\) gilt \(\displaystyle \cos \varphi = \frac{\vec a \circ \vec b}{|\vec a | \cdot | \vec b|} \ \ \Leftrightarrow \ \ \varphi = \arccos \frac{\vec a \circ \vec b}{|\vec a | \cdot | \vec b|} \) („ \(\circ\) “ ist das Skalarprodukt und arccos der Arkuskosinus , also die Umkehrfunktion des Kosinus .) Beispiel: \(\overrightarrow{a} = \left(\begin{array}{c}{-3}\\{4}\end{array}\right) , \ \ \overrightarrow{b} = \left(\begin{array}{c}{12}\\{5}\end{array}\right)\) \(\overrightarrow{a}\circ \overrightarrow{b} = \left(\begin{array}...