Exponentialfunktion – Lernwege
-
-
Was sind Exponentialgleichungen?
-
-
-
Exponentialfunktion – Klassenarbeiten
-
-
-
Die Buche ist ein in weiten Teilen Europas heimischer Laubbaum. Eine frisch eingepflanzte kleine Buche hat eine Höhe von \(0{,}3\text{ m}\) . Ein Biologe modelliert das Höhenwachstum dieser Buche aufgrund von Messungen in den ersten Jahren nach dem Pflanzen durch die Funktion \(f\) mit der Gleichung: \(\begin{align} f(t) &= 0{,}3 + 35 \cdot ( 1-e^{-0{,}02 \cdot t})^2 \\ &= 0{,}3 + 35 \cdot (1-2\cdot e^{-0{,}02 \cdot t} + e^{-0{,}04 \cdot t});\quad t \geq 0 \\ \end{align}\) Dabei wird \(t\) als Maßzahl zur Einheit 1 Jahr, \(f(t)\) als Maßzahl zur Einheit \(1\,\text{m}\) aufgefasst. Der
-
-
-
Exponentialfunktion – Lexikoneinträge
-
Die irrationale Euler’sche Zahl e = 2,718.281.284.590.45… ist die Basis des natürlichen Logarithmus ln x = log e x bzw. der natürlichen Exponentialfunktion e x . Sie ist nach dem schweizerischen Mathematiker Leonhard Euler benannt. Sie ist auch der Grenzwert der Zahlenfolge \(\displaystyle \left( \left[1 + \frac{1}{n} \right]^n \right)\) , also \(\displaystyle \text e = \lim\limits_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n\) , sowie der unendlichen Reihe der inversen Fakultäten : \(\displaystyle \text e = \sum_{n =0}^\infty \frac{1}{n!} \) .
-
Ein Produkt aus n gleichen reellen Faktoren a heißt Potenz a n (sprich: „ a hoch n “). Man sagt: a wird mit n potenziert. Die Zahl a wiederum heißt auch Basis oder Grundzahl, die Zahl n ist der Exponent bzw. die Hochzahl. Weiter wird festgelegt: a 1 = a ( \(a \in \mathbb{R}\) ) und a 0 = a ( \(a \in \mathbb{R}\setminus\{0\}\) ) Achtung: Der Ausdruck „0 0 “ ist mathematisch nicht sinnvoll zu definieren und sollte deshalb unbedingt vermieden werden! Beispiele: \(5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125\) \(\left ( \dfrac{3}{5} \right )^4=\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{3}{5}=...
-
Das radioaktive Zerfallsgesetz beschreibt die zeitliche Entwicklung der Anzahl der noch nicht zerfallenen Atomkerne einer radioaktiven Substanz. Die wesentliche Erkenntnis dabei ist, dass die Anzahl der Zerfälle, d N , die in der Zeitspanne d t in einer Substanz mit N Atomkernen stattfinden, proportional zur Anzahl N der gerade vorhandenen Atomkerne und der Dauer der Zeitspanne d t ist. Mit der Proportionalitätskonstante (Zerfallskonstante) \(\lambda\) bedeutet das \(\text d N = -\lambda \cdot N \cdot \text d t\) . Das Minuszeichen berücksichtigt, dass die Anzahl der noch nicht zerfallenen...