Dreieck – Klassenarbeiten
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Die Lösungsvorschläge liegen nicht in der Verantwortung des jeweiligen Kultusministeriums.
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An einer Schule wird eine Mathematikausstellung unter dem Motto „Mathematik zum Anfassen und Mitmachen“ ausgerichtet. Eines der ausgestellten Experimente besteht aus einer annähernd punktförmigen Lichtquelle, einer Leinwand, auf die verschiedene unregelmäßige Dreiecke gezeichnet sind, und einem Drahtmodell eines gleichschenkligen, rechtwinkligen Dreiecks. Dieses Drahtmodell gilt es so zwischen Lichtquelle und Leinwand zu halten, dass sein Schatten exakt mit einem der Dreiecke auf der Leinwand zur Deckung gebracht wird. Die Abbildung zeigt eine Prinzipdarstellung des Experiments. In dieser
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Dreieck – Lexikoneinträge
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Im Dreieck werden bestimmte Linien, die in einem besonderen Verhältnis zu den Seiten und/oder Winkeln stehen, als besondere Linien bezeichnet. Von jeder Art dieser besonderen Linien gibt es drei. Oft spielen auch die Schnittpunkte dieser jeweils drei Linien eine besondere Rolle. Im gleichschenkligen Dreieck sind jeweils zwei Linien zueinander spiegelsymmetrisch (nämlich die zu den gleich langen Schenkeln bzw. den Basiswinkeln gehörenden). Im gleichseitigen Dreieck fallen jeweils alle Arten von besonderen Linien zusammen. Im einzelnen betrachtet man: Die Höhen h a , h b und h c eines Dreiecks...
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Ein gleichschenkliges Dreieck hat zwei gleich lange Seiten, die man Schenkel nennt. Die dritte Seite nennt man Basis . Die beiden an der Basis anliegenden Winkel, die Basiswinkel , sind gleich groß. Sind \(\alpha = \beta\) die beiden Basiswinkel, gilt wegen des Winkelsummensatzes für den dritten Winkel \(\gamma = 180^\circ - 2\alpha\) . Das gleichschenklige Dreieck ist achsensymmetrisch bezüglich der Höhe über der Basis.
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Die Höhe in einem Dreieck ist der senkrechte Abstand einer Ecke von der gegenüberliegenden Seite bzw. das Lot der Ecke auf diese Seite. Der Lotfußpunkt heißt in diesem Fall Höhenfußpunkt . Die drei Höhen h a , h b und h c schneiden sich in einem Punkt, dem Höhenschnittpunkt H . Die Höhen in \(\triangle ABC\) sind gleichzeitig die Mittelsenkrechten ( Mittellote ) in \(\triangle A'B'C'\) , das von den Parallelen zu den Seiten von \(\triangle ABC\) durch die Eckpunkte von \(\triangle ABC\) gebildet wird. Die Höhe dient unter anderem zur Flächenberechnung : Die Fläche eines Dreiecks ist die...
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Der dem griechischen Mathematiker Euklid zugeschriebene Höhensatz gilt für rechtwinklige Dreiecke und ist Teil der Satzgruppe des Pythagoras . Wenn man die Hypotenuse am Höhenfußpunkt in die beiden Strecken p und q teilt, dann besagt der Höhensatz, dass das Höhenquadrat so groß ist wie das Rechteck aus den beiden Hypotenusenabschnitten, in Formeln: h 2 = p · q Die Beweisidee illustriert die nachstehende Bilderfolge (man beachte, dass die Fläche eines Parallelogramms gleich bleibt, wenn man eine Seite parallelverschiebt). Die Umkehrung des Höhensatzes gilt ebenfalls: Wenn bei einem Dreieck h c...
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In der Geometrie ist der Inkreis ein Kreis , der alle Seiten eines Polygons ( Vielecks ) genau einmal berührt. Eine Polygon hat immer dann einen Inkreis, wenn sich die Winkelhalbierenden aller Seiten in einem Punkt schneiden. Dieser Schnittpunkt ist dann der Mittelpunkt des Inkreises. Vierecke , die einen Inkreis haben, nennt man Tangentenvierecke . Dreiecke haben immer einen Inkreis.
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Der dem griechischen Mathematiker Euklid zugeschriebene Kathetensatz gilt für rechtwinklige Dreiecke und ist Teil der Satzgruppe des Pythagoras . Wenn man die Hypotenuse am Höhenfußpunkt in die beiden Strecken p und q teilt, dann besagt der Kathetensatz, dass jedes Kathetenquadrat so groß ist wie das Rechteck aus Hypotenuse und anliegendem Hypotenusenabschnitt, in Formeln: a 2 = p · c und b 2 = q · c Die Beweisidee illustriert die nachstehende Bilderfolge (man beachte, dass die Fläche eines Parallelogramms gleich bleibt, wenn man eine Seite parallelverschiebt). Die Umkehrung des Kathensatzes...
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Zwei Figuren sind zueinander kongruent , wenn es eine Abbildung (eine sog. Bewegung oder Kongruenzabbildung ) gibt, mit der man die eine Figur mit der anderen zur Deckung bringen kann. Daher sagt man statt „kongruenz“ oft auch „ deckungsgleich “. Der Ausdruck Bewegung für eine Kongruenzabbildung ist übrigens ganz wörtlich gemeint: Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sich das eine durch Verschieben oder Drehen so „bewegen“ lässt, dass es das andere exakt abdeckt. Allerdings muss man das Dreieck dafür unter Umständen aus der Ebene herausbewegen: Eine Geradenspiegelung kann man nur dann mit einer...
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Die vier Kongruenzsätze für Dreiecke geben an, wann zwei Dreiecke zueinander kongruent bzw. deckungsgleich sind. Kongruente Dreiecke stimmen in allen Eigenschaften außer ihrer Lage in der Ebene überein: Seitenlängen, Innen- und Außenwinkel, Höhen, Flächeninhalt, Umfang, … In den folgenden vier Fällen reichen drei Hauptgrößen (Seitenlängen und Winkel), um die Gestalt eines Dreiecks eindeutig festzulegen und es zu konstruieren . Die Forderung, dass zwei Dreiecke ähnlich sind, ist schwächer als die nach Kongruenz, dazu genügen unter Umständen auch nur zwei Größen. Kongruenzsatz SSS Kongruenzsatz...
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Der Kosinussatz ist eine Erweiterung des Pythagoras-Satzes auf allgemeine Dreiecke , wo bei zu den Quadraten der Seitenlängen noch ein weiterer, vom Kosinus eines Winkels abhängiger Term dazukommt (daher der Name): \(\displaystyle a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos \alpha\) \(\displaystyle b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos \beta\) \(\displaystyle c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos \gamma\) Man kann mit Kosinussatz und Sinussatz auch die Kongruenzsätze für Dreiecke beweisen bzw. aus den dort angebenen Hauptgrößen alle übrigen berechnen – was meist wesentlich weniger Aufwand macht als die (eindeutige) Konstruktion mit...
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Allgemein ist die Mittelsenkrechte eine Gerade , die so auf einer Strecke senkrecht steht, dass sie diese genau in zwei gleich lange Hälften teilt. Im Dreieck gehören die Mittelsenkrechten m a , m b und m c auf den Seiten a , b und c zu den besonderen Linien . Sie schneiden sich alle in einem Punkt M , der gleichzeitig der Mittelpunkt des Umkreises des Dreiecks ist. Dies liegt daran, dass jeder Punkt auf m a gleich weit von B und C und jeder Punkt auf m b gleich weit von A und C entfernt ist. Darum ist der Schnittpunkt von m a und m b von allen drei Ecken gleich weit entfernt und damit...
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Der Satz des Thales besagt in seiner Kurzform „Jeder Winkel im Halbkreis ist ein rechter". Etwas ausführlich ist jedes Dreieck , bei dem zwei Ecken den Durchmesser eines Kreises begrenzen und dessen dritte Ecke ebenfalls auf der Kreislinie liegt, rechtwinklig . Oder: Jeder Winkel, dessen Scheitelpunkt auf einer Kreislinie liegt und dessen Schenkel diese Kreislinie auf zwei gegenüberliegenden Punkten schnieden, ist rechtwinklig. Umgekehrt kann man auch sagen, dass der Umkreismittelpunkt eines rechtwinkligen Dreiecks in der Mitte der Hypotenuse liegt. Außer über den Satz vom Umkreismittelpunkt...
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Der Schwerpunkt eines Dreiecks ist der Schnittpunkt seiner Seitenhalbierenden . Wenn die Ortsvektoren der Ecken A , B und C die Vektoren \(\vec a\) , \(\vec b\) und \(\vec c\) sind, ist der Ortsvektor des Schwerpunkts \(\displaystyle \vec s = \frac 1 3 (\vec a +\vec b+\vec c)\) . Die Bezeichnung „Schwerpunkt“ kann man auch physikalisch wörtlich nehmen: Wenn man ein dreieckiges Holzbrett (ganz vorsichtig!) auf dem Schwerpunkt balanciert, bleibt es im Gleichgewicht. Und wenn man ein Dreieck an der Spitze drehbar aufhängt, folgt die Verlängerung des Fadens der jeweiligen Seitenhalbierenden...