Division – Lernwege
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Was ist beim Multiplizieren und Dividieren von Brüchen zu beachten?
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Was ist schriftliche Multiplikation und Division?
Division – Klassenarbeiten
Division – Lexikoneinträge
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Wenn im Zähler und/oder Nenner eines Bruchs selbst Brüche stehen, spricht man von einem Doppelbruch. Man löst ihn auf, indem man den Zählerbruch mit dem Kehrwert des Nennerbruchs multipliziert : \(\displaystyle \frac {\frac a b}{\frac c d} = \frac a b \cdot \frac d c = \frac {ad}{bc}\)
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Endstellenregeln nennt man die Teilbarkeitsregeln für die Zahlen 2, 4, 8 (und generell alle Zweierpotenzen), da die letzten n Ziffern einer Zahl bestimmen, ob sie durch 2 n teilbar ist.
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Zu den Grundrechenarten zählen zunächst einmal die Addition und die Multiplikation . Jede Addition und jede Multiplikation von zwei natürlichen Zahlen hat eine natürliche Zahl als Ergebnis. Dies gilt auch in den anderen in der Schule behandelten Zahlenbereichen . Die Umkehroperationen von Addition und Multiplikation sind die Subtraktion und die Division , sie werden ebenfalls als Grundrechenarten bezeichnet. Wenn man zwei Zahlen subtrahiert, bekommt unter Umständen eine negative Zahl als Ergebnis, bei der Division von zwei Zahlen möglicherweise eine Bruchzahl bzw. rationale Zahl. Subtraktion...
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Der Kehrwert \(\dfrac 1 x\) einer rationalen oder reellen Zahl x ist ihr inverses Element bezüglich der Multiplikation , also die Zahl, die mit x malgenommen die Zahl 1 ergibt (das neutrale Element der Multiplikation): \(x \cdot \dfrac 1 x = 1 \ \ (x \in \mathbb R)\) Der Kehrwert einer ganzen Zahl ist ein Stammbruch , der Kehrwert eines Stammbruchs immer eine ganze Zahl. Man erhält den Kehrwert eines beliebigen Bruches , indem man einfach Zähler und Nenner vertauscht: \(\dfrac a b \mapsto \dfrac b a\) Die Division von Brüchen bzw. das Auflösen von Doppelbrüchen lässt sich mit dem Kehrwert...
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Periodische Dezimalzahlen sind rationale Zahlen , in deren Nenner nicht nur die Primfaktoren 2 und 5 stehen, also keine Dezimalbrüche sind. Bei ihnen wiederholt sich ab einer bestimmten Stelle hinter dem Komma eine Ziffer oder Ziffernfolge immer weiter bis ins Unendliche. Diese wird dann mit einem Überstrich notiert. Beispiele: \(\dfrac1 3 = 0,333.333.333\ldots = 0,\bar 3\) (lies: „0 Komma Periode 3“ ) \(\dfrac9 7 = 1,285.714.285714.285.714\ldots = 1,\overline{285714}\) (lies: „1 Komma Periode 285714“ ) Achtung: Im zweiten Beispiel sollte man auf keinen Fall „1 Komma 285714 Periode“, wie es...
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Die Polynomdivision ist ein Rechenverfahren bzw. eine Termumformung , bei der ein Bruchterm , genauer gesagt der Quotient aus zwei Polynomen in eine Summe aus zwei Termen umgeformt wird, und zwar einem einfacheren Polynom und ggf. einem einfacheren Bruchterm: \(\dfrac{Z(x)}{N(x)} = Z(x) : N(x) = Q(x) \ \left[+ \dfrac{r(x)}{N(x)} \right]\) Dabei sind Z ( x ) das Zähler und N ( x ) das Nennerpolynom bzw. Dividend und Divisor, Q ( x ) das „Ergebnis“ (der Quotient) und r(x) das Restpolynom . Diese Bezeichnung kommt daher, dass man auch schreiben kann: \(Z(x) = Q(x) \cdot N(x) \ \left[+ r(x)\right...
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Als Quersumme (oder Ziffernsumme ) bezeichnet man die Summe der Ziffernwerte einer natürlichen Zahl . Beispiele: Quersumme von 24.869: 2 + 4 + 8 + 6 + 9 = 29 Quersumme von 158: 1 + 5 + 8 = 14 Die Quersumme spielt z. B. bei den Teilbarkeitsregeln für die Teiler 3 und 9 eine wichtige Rolle.
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Eine ganze Zahl m ist durch eine andere ganze Zahl n teilbar , wenn die Division m : n ohne Rest aufgeht, in diesem Fall ist m ein Teiler von n und n ein Vielfaches von m : \(m : n = s \in \mathbb Z\) Es gibt eine Reihe von Teilbarkeitsregeln , die insbesondere beim Kürzen von Brüchen nützlich sind: Eine natürliche Zahl ist durch 2 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer gerade (durch 2 teilbar) ist. Eine natürliche Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme (die Summe aller Ziffern der Zahl) durch 3 teilbar ist. Eine natürliche Zahl ist durch 4 teilbar, wenn ihre letzten beiden Ziffern eine...
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Eine natürliche Zahl a heißt Teiler einer natürlichen Zahl b , wenn die Division b : a aufgeht, d. h., wenn es eine natürliche Zahl n gibt mit a · n = b . Ist a ein Teiler von b , dann ist gleichzeitig b ein Vielfaches von a . b ist dann nämlich das „ n -Fache“ von a (siehe oben). Man schreibt: \(a \mid b\) (sprich: „a ist Teiler von b“ oder „a teilt b“), \(a \nmid b\) (sprich: „a ist kein Teiler von b“ oder „a teilt b nicht“). Beispiele : 2 ∣ 8 5 ∣ 25 7 ∤ 10 3 ∣ 21 31 ∤ 97 Weitere Eigenschaften von Teilern und Vielfachen: Äquivalent mit „ \(a \mid b\) “ ist die Aussage, dass die Division b...
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Die Teilermenge T n einer natürlichen Zahl n enthält alle Zahlen, durch die n teilbar ist, d. h. alle Teiler von n : \(T_n = \{m\in \mathbb N\big| m \mid n \}\) Beispiele: T 30 = {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30} T 100 = {1; 2; 4; 5; 10; 25; 50} T 101 = {1; 101 } Die Teilermenge einer Primzahl enthält nur die 1 und die Zahl selbst. Die Teilermenge einer Zahl enthält immer eine gerade Anzahl von Elementen, die sich in Paare sortieren lassen, welche miteinander multipliziert die Zahl selbst ergeben. Beispiel: n = 30 (8 Elemente, 4 Paare): 1 · 30 = 30; 2 · 15 = 30; 3 · 10 = 30; 5 · 6 = 30