Differenzierbarkeit – Lexikoneinträge
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In der Differenzialrechnung gibt die Ableitung einer Funktion f an einer Stelle x 0 an, wie steil die Tangente an die Funktion in diesem Punkt verläuft, genauer gesagt deren Steigung m t . Dies ist genau dann möglich, wenn die Funktion f an dieser Stelle differenzierbar ist. Ist sie in einem Intervall bzw. im gesamten Definitionsbereich differenzierbar, dann ist die Ableitung der Funktion f dort selbst eine Funktion, die man \(f'\) („f Strich“) nennt, besonders in der Physik auch \(f'(x) \equiv \dfrac {\text d f}{\text d x} = \dfrac {\text d}{\text d x}f(x)\) („d f nach d x“). Die Ableitung...
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Für das Ableiten ( Differenzieren ) von Funktionen gelten die folgenden wichtigen Regeln: Die Ableitung einer konstanten Funktion ist konstant null: \(f(x) = c \ \ \Rightarrow \ \ f'(x) = 0 \ \ (c \in \mathbb R)\) Beim Ableiten einer Potenzfunktion wird der Exponent um 1 erniedrigt und als Faktor vor die Potenz gezogen: \(f(x) = x^n \ \ \Rightarrow \ \ f'(x) = n \cdot x^{n-1}\) Dies gilt auch bei rationalen oder reellen Exponenten, z. B. \(\displaystyle f(x) = \sqrt x = x^{1/2} \ \ \Rightarrow \ \ f'(x) = \left(\frac 1 2 \right) \cdot x^{\frac 1 2 -1}= \frac 1 {2\sqrt x}\) Konstante...
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Die Ableitung einer Funktion an einer Stelle \(x_0 \in Df\) kann man sich bildlich als den Grenzwert der Sekantensteigungen vorstellen, wenn man den Abstand zwischen den beiden Schnittpunkten von Funktionsgraph und Sekante gegen null gehen lässt. Die Sekantensteigung m s ist definiert als \(m_\text s = \dfrac {f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = \dfrac {\Delta f(x)}{\Delta x}\) und wird als Differenzenquotient bezeichnet. Lässt man x gegen x 0 gehen, wird die Sekantensteigung zur Tangentensteigung m t , also zur Steigung der Tangente an G f im Punkt P 0 ( x 0 | f ( x 0 ) ) und der Differenzenquotient wird...
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Eine Funktion ist an einer Stelle x 0 differenzierbar , wenn linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert des Differenzenquotienten an dieser Stelle existieren und übereinstimmen: \(\displaystyle \lim_{x \to x_0-0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = \lim_{x \to x_0+0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = \lim_{x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = f'(x_0)\) Beispiele: f ( x ) = x 2 ist an jeder Stelle x 0 differenzierbar, weil \(\displaystyle \lim_{x \to x_0}\frac{x^2-x_0^2}{x-x_0} = \lim_{x \to x_0}(x+x_0) = 2x_0 = f'(x_0)\) f ( x ) = | x | ist an der Stelle x = 0 nicht differenzierbar, weil \(\displaystyle...
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Man kann die Differenzierbarkeit einer stetigen Funktion auch daran erkennen, dass ihr Funktionsgraph keinen „ Knick “ aufweist: Ein Knick ist eine Stelle, an welcher die Steigung, also die erste Ableitung des Funktionsgraphen links und rechts unterschiedliche Werte aufweist. Dies bedeutet, dass linker und rechter Grenzwert des Differenzenquotienten dort unterschiedliche Werte haben. Ein Beispiel ist die Betragsfunktion im Punkt (0|0): Ihre Ableitung ist für alle negativen Zahlen –1, für alle positvien Zahlen +1 und für 0 nicht definiert.
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Unter dem Schnittwinkel zweier Funktionsgraphen \(G_{f_1}\) und \(G_{f_2}\) an einer Stelle x 0 versteht man den nichtstumpfen Winkel \(\varphi\) , unter dem sich die Tangenten an die beiden Graphen in diesem Punkt schneiden. Für diesen Winkel gilt \(\displaystyle \tan \varphi = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 \cdot m_2} \right| = \left| \frac{f_1'(x_0) - f_2'(x_0)}{1 + f_1'(x_0) \cdot f_2'(x_0)} \right|\) Im Spezialfall, dass die Graphen senkrecht aufeinander stehen, so gilt: \(f_1 ' ( x_0 ) \cdot f_2 ' ( x_0 ) = m_1 \cdot m_2 = - 1\) . Beispiel: Die Graphen der Funktionen \(f_1\!: x...
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Eine Funktion f ist an einer Stelle \(x_0 \in D_f\) genau dann stetig , wenn f an dieser Stelle definiert ist und ihr Grenzwert an dieser Stelle existiert: \(\displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\) Anschaulich gesprochen heißt das, dass die Funktionswerte in unmittelbarer Nähe von x 0 beliebig dicht an f ( x 0 ) „heranrürcken.“ Beispiel: \(f : x \mapsto f (x) = 2 x^3 \ \ ( x \in \mathbb{R})\) ist an der Stelle x 0 = 1 stetig, denn f(1) = 2 ·1 3 = 2 ist wohldefiniert und es gilt \(\displaystyle \lim_{x \to x_0} 2x^3 = 2 = f(1)\) . ▶ Anmerkung Für die Randwerte a und b eines Intervalls...
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Eine Gerade ist eine Tangente an einen Funktionsgraphen G f im Punkt P ( x 0 | f ( x 0 )), wenn sie dort dieselbe Steigung wie die Funktion f hat. Die Tangente am P unkt P ( x 0 | f ( x 0 )) hat daher die Gleichung (vorausgesetzt, dass f differenzierbar ist): \(t_{x_0} \!: \ y = f'(x_0)\cdot x+b\) Da P auf der Tangente liegt, kann man dessen Koordinaten in die Geradengleichung einsetzen und erhält die Gleichung \(t_{x_0} \!: \ y = f'(x_0)\cdot (x-x_0) +f(x_0)\) Die Tangente hat also den y -Achsenabschnitt \(b = f(x_0) -x_0 \cdot f'(x_0)\) . Eine Normale an den Funktionsgraphen ist dadurch...