Brüche – Lexikoneinträge
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Eine Gleichung heißt Bruchgleichung , wenn sie mindestens einen Bruchterm enthält. Beim Lösen einer Bruchgleichung muss man einerseits darauf achten, dass kein Nenner 0 wird, und andererseits überprüfen, dass die am Ende gefundene Lösung Teil der ursprünglichen Definitionsmenge ist. Vorgehen: Definitionsmenge klären beide Seiten mit Hauptnenner bzw. Produkt der Nenner multiplizieren Gleichung ohne Bruchterme mit den üblichen Verfahren lösen Beispiel: \(\displaystyle \frac {3x - 5}{x+1} = \frac {2x + 6}{x+3}\) 1. Defintionsmenge: \(D = \mathbb R \setminus\{-1; -3\}\) 2. Hauptnenner: ( x + 1)(...
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Ein Term wird Bruchterm genannt, wenn er zum einen einen Bruch enthält und zum anderen im Nenner des Bruchs mindestens eine Variable steht. Beispiele: \(\displaystyle \frac {2x + 5}{a - 3x} + 4\) ; \(\displaystyle \frac {17}{3 :5 - x}\)
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Als Bruchzahlen bezeichnet man entweder einfach die rationalen Zahlen oder aber nur die nichtnegativen rationalen Zahlen, also alle Zahlen, die als Brüche mit natürlichen Zahlen in Zähler und Nenner (natürlich ohne 0 im Nenner!) geschrieben werden können. Im zweiten Fall fasst man die Bruchzahlen in der Menge \(\displaystyle \mathbb B = \left\{ \left.\frac m n \right| m \in \mathbb N, \ n \in \mathbb N \setminus\{0\}\right\} \equiv \mathbb Q_0^+\) zusammen. Anmerkung: Welche Variante gilt, hängt im Wesentlichen davon ab, ob in deinem Bundesland erst die Bruchrechnung oder erst die negativen...
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Dezimalzahlen sind grundsätzlich alle Zahlen, die im Stellensystem mit der Basis \(10\) (Dezimalsystem) aufgeschrieben werden. Das ist für die meisten in der Schule und im Alltag verwendeten Zahlen der Fall. Das heißt, im weiteren Sinne ist die Zahl \(-1{,}5\) ebenso eine Dezimalzahl wie \(2\) oder \(3{,}141.592.653.589.793\dots\) In vielen Schulbüchern werden Dezimalzahlen aber in einem engeren Sinne verwendet. Dort werden häufig nur Kommazahlen gemeint. Genau genommen werden Dezimalzahlen gemeint, die in Zifferndarstellung mindestens eine Stelle hinter dem Komma haben, die nicht \(0\) i...
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Wenn im Zähler und/oder Nenner eines Bruchs selbst Brüche stehen, spricht man von einem Doppelbruch. Man löst ihn auf, indem man den Zählerbruch mit dem Kehrwert des Nennerbruchs multipliziert : \(\displaystyle \frac {\frac a b}{\frac c d} = \frac a b \cdot \frac d c = \frac {ad}{bc}\)
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E chte Brüche ( einfache Brüche , gemeine Brüche ) sind Brüche , bei denen der Zähler kleiner ist als der Nenner.
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G emeine Brüche ( echte Brüche , einfache Brüche ) sind Brüche , bei denen der Zähler kleiner ist als der Nenner.
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Unechte Brüche kann man auch als gemischte Zahlen (auch: gemischte Brüche ) schreiben. Eine gemischte Zahl erhält man, indem man den Zähler durch den Nenner mit Rest dividert : \(\frac{51}{5} = 51 : 5 = 10 \text{ Rest } 1\) Das Ergebnis der Division (hier 10) wird vor den Bruch geschrieben, der Rest (1) bildet den neuen Zähler und der Nenner bleibt gleich: \(\frac{51}{5} = 51 : 5 = 10 \text{ Rest } 1 =10\frac{1}{5}\)
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Der größte gemeinsame Teiler ( ggT ) von zwei oder mehr natürlichen Zahlen ist, wie der Name schon sagt, die größte Zahl durch diese Zahlen teilen kann, ohne dass ein Rest bleibt. Man kann den ggT bestimmen, indem man eine Primfaktorzerlegung der Zahlen durchführt, denn er ist das Produkt aus allen gemeinsamen Primfaktoren. Beispiele: \(24 = 2^3 \cdot {\bf 3}, \ \ 36 = {\bf 2^2} \cdot 3^2 \ \ \Rightarrow \ \ \text{ggT}(24, 36) = {\bf 2^2} \cdot {\bf 3} = 12\) \(4 = {\bf 2}^2, \ \ 6 = {\bf 2} \cdot 3, \ \ 8 = {\bf 2}^3 \ \ \Rightarrow \ \ \text{ggT}(4, 6, 8) = {\bf 2}\) \(13 = 13, \ \ 46 = 2...
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Der Hauptnenner von zwei oder mehr Brüchen ist das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) ihrer Nenner . Man benötigt den Hauptnenner, wenn man Brüche mit unterschiedlichen Nennern, also „ ungleichnamige “ Brüche vergleichen, addieren oder subtrahieren möchte. Um zwei Brüche „auf den Hauptnenner zu bringen“ bzw. „gleichnamig zu machen“, geht man folgendermaßen vor: Primfaktoren beider Nenner bestimmen Man multipliziert alle Primfaktoren, die in beiden Nennern auftauchen, und jeweils in der größeren auftretenden Potenz . Dies ist der Hauptnenner. Man erweitert die beiden Brüche so, dass im Nenner...
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Der Kehrwert \(\dfrac 1 x\) einer rationalen oder reellen Zahl x ist ihr inverses Element bezüglich der Multiplikation , also die Zahl, die mit x malgenommen die Zahl 1 ergibt (das neutrale Element der Multiplikation): \(x \cdot \dfrac 1 x = 1 \ \ (x \in \mathbb R)\) Der Kehrwert einer ganzen Zahl ist ein Stammbruch , der Kehrwert eines Stammbruchs immer eine ganze Zahl. Man erhält den Kehrwert eines beliebigen Bruches , indem man einfach Zähler und Nenner vertauscht: \(\dfrac a b \mapsto \dfrac b a\) Die Division von Brüchen bzw. das Auflösen von Doppelbrüchen lässt sich mit dem Kehrwert...
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Das kleinste gemeinsame Vielfache ( kgV ) von zwei oder mehr natürlichen Zahlen ist, wie der Name schon sagt, die kleinste Zahl, durch die man Zahlen teilen kann, ohne dass ein Rest bleibt. Man kann das kgV mithilfe einer Primfaktorzerlegung der Zahlen bestimmen, denn es ist das Produkt aus den höchsten auftretenden Primfaktoren. Beispiele: \(15 = {\bf 3} \cdot {\bf 5}, \ \ 6 = {\bf 2} \cdot {\bf 3} \ \ \Rightarrow \ \ \text{kgV}(15, 6) = {\bf 2} \cdot {\bf 3} \cdot {\bf 5} = 30\) \(4 = 2^2, \ \ 16 = {\bf 2^4} \ \ \Rightarrow \ \ \text{kgV}(4, 16) = {\bf 2^4} = 16\) \(9 = {\bf 2^3}, \ \ 11 =...