Bewegungen – Lexikoneinträge
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Die Bahn ( Bahnkurve , Trajektorie ) eines Massenpunkts ist die Gesamtheit aller Raumpunkte, die er bei seiner Bewegung durchläuft . Die Bahn legt den Weg des Teilchens (die Bahnkurve) im Raum fest. Mathematisch lässt sich sich bei geradliniger Bewegung durch eine Funktion x ( t ) bzw. bei dreidimensionaler Bewegung durch eine Vektorfunktion \(\vec x(t)\) modellieren.
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Die Beschleunigung \(\vec a\) (von engl. acceleration "Beschleunigung") ist die zeitliche Änderung bzw. Ableitung der Geschwindigkeit \(\vec v\) eines Körpers in Betrag und/oder Richtung. \(\vec a = \dfrac{\Delta \vec v}{\Delta t} \quad\text{bzw.} \quad \vec a = \dfrac{\text d\vec v}{\text d t} = \dot{\vec v} = \ddot{\vec s}\) Nimmt der Geschwindigkeitsbetrag ab, d. h. bei negativer Beschleunigung, spricht man auch von Bremsen . Bei einer konstanten Beschleunigung liegt eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung vor. Bei einer zeitlich variablen Beschleunigung bezeichnet man den Quotienten \(...
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Eine Drehung ( Rotation ) ist eine der grundlegenden Abbildungen zwischen geometrischen Objekten, sie gehört zu den sog. Bewegungen ( Kongruenzabbildungen ) sowie zu den Ähnlichkeitsabbildungen . Wird eine Figur bzw. ein Körper um einen gewissen Drehwinkel rotiert, dann ändern sich die inneren Abstände und Winkel nicht. Jede Drehung hat in zwei Dimensionen einen sog. Fixpunkt , also einen Punkt, der auf sich selbst abgebildet wird. In drei Dimensionen, also der Raumsymmetrie, bleibt eine ganze Gerade unverändert, die Drehachse oder Rotationsachse . Eine formale Definition für Drehungen ist die...
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Eine Ebenenspiegelung ist das dreidimensionale Gegenstück zur Achsen - oder Geradenspiegelung . Zwei einander entsprechende Punkte P (Urbild) und \(P'\) (Abbild, „Spiegelbild“) haben den gleichen senkrechten Abstand von der Spiegelebene. Ebenenspiegelungen sind Bewegungen , d. h. bei der Spiegelung eines Körpers an einer Ebene ändern sich Abstände und Winkel nicht. In der Analytischen Geometrie beschreibt man eine Ebenenspiegelung folgendermaßen: Wenn die Normale durch P auf der Ebene E schneidet E im Lotfußpunkt F . Für den Spiegelpunkt \(P'\) gilt dann \(\displaystyle \overrightarrow{p'} =...
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Unter einer Geradenspiegelung oder Achsenspiegelung versteht man die Spiegelung einer Figur oder eines sonstigen zweidimensionalen Objekts an einer Geraden , die man in diesem Fall die Spiegelachse nennt. Figuren, die bei einer Geradenspiegelung unverändert bleiben (auf sich selbst abgebildet werden), sind achsensymmetrisch . Etwas formaler kann die Spiegelung an einer Geraden g als eine geometrische Abbildung definieren, bei der für jeden Punkt P gilt: der Bildpunkt \(P'\) liegt auf der Senkrechten zu g durch P und g halbiert die Strecke \(PP'\) . Geradenspiegelungen sind Bewegungen (...
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Die Geschwindigkeit \(\vec v\) , ist ein Vektor , der sowohl angibt, wohin sich ein Objekt bewegt ( Richtung des Vektors) also auch wie schnell ( Betrag des Vektors). Bei einer geradlinigen Bewegung braucht man keine Vektordarstellung, in diesem Fall gibt das Vorzeichen an, ob man sich vorwärts oder rückwärts bewegt. Die Geschwindigkeit ist generell über die Formel „Weg durch Zeit“ definiert. Bei einer gleichförmigen Bewegung (konstanter Geschwindigkeitsbetrag) ist sie einfach der Quotient aus der zurückgelegten Wegstrecke \(\Delta s\) und der dafür benötigten Zeitspanne \(\Delta t\) : \(v =...
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Die Hydrostatik (von griech. hydor „Wasser“ und lat. stare „stehen“) ist die Lehre vom Gleichgewicht in ruhenden Flüssigkeiten bei Einwirkung äußerer Kräfte . Die grundlegende Aufgabe der Hydrostatik ist die Bestimmung der Druckverteilung in einer ruhenden Flüssigkeit. Ein zentraler Begriff ist dabei der hydrostatische Druck . Darunter versteht man den Druck in einer ruhenden, inkompressiblen (nicht zusammendrückbaren) Flüssigkeit . Er setzt sich grundsätzlich zusammen aus dem Druck, der von der auf die Flüssigkeit wirkenden Schwerkraft herrührt ( Schweredruck ), und aus einem durch andere...
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Geometrische Abbildungen , die kongruente Figuren aufeinander abbilden. „ Kongruent “ bedeutet dabei, dass Urbild und Abbild einer Kongruenzabbildung deckungsgleich sind. Der Begriff Kongruenzabbildung ist im Prinzip gleichbedeutend mit „ Bewegung “. Allerdings sagt man Bewegung nicht nur Abbildungen im Zweidimensionalen, sondern auch zu räumlichen Abbildungen.
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Die vier Kongruenzsätze für Dreiecke geben an, wann zwei Dreiecke zueinander kongruent bzw. deckungsgleich sind. Kongruente Dreiecke stimmen in allen Eigenschaften außer ihrer Lage in der Ebene überein: Seitenlängen, Innen- und Außenwinkel, Höhen, Flächeninhalt, Umfang, … In den folgenden vier Fällen reichen drei Hauptgrößen (Seitenlängen und Winkel), um die Gestalt eines Dreiecks eindeutig festzulegen und es zu konstruieren . Die Forderung, dass zwei Dreiecke ähnlich sind, ist schwächer als die nach Kongruenz, dazu genügen unter Umständen auch nur zwei Größen. Kongruenzsatz SSS Kongruenzsatz...
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Eine Punktspiegelung ist eine eineindeutige geometrische Abbildung in der Ebene oder im Raum. Man kann sie auf zwei Weisen betrachten: entweder als Spiegelung an einem Punkt Z , dem Spiegelzentrum. Für jeden abgebildeten Punkt P (z. B. jede Ecke eines Dreiecks) liegt das Spiegelbild, d. h. das Abbild unter dieser Punktspiegelung, auf einer Geraden durch P und Z , und zwar im selben Abstand, jedoch auf der anderen Seite (siehe Grafik). oder als eine Drehung um den Punkt Z , und zwar um den gestreckten Winkel 180° (im Bogenmaß : \(\pi\) ). Formal kann man eine Punktspiegelung an Z so definieren...
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Eine Figur ist punktsymmetrisch , wenn sie bei einer Punktspiegelung auf sich selbst abgebildet wird. Es gibt dann also einen besonderen Punkt, das Spiegelzentrum , in Bezug auf den sich immer zwei Punkte der Figur exakt gegenüber befinden. Da eine Punktspiegelung dasselbe wie eine Drehung um 180° bedeutet, sind punktsymmetrische Figuren auch (zweizählig) drehsymmetrisch. Auch in drei Dimensionen kann man Punktspiegelungen und Punktsymmetrie betrachten. Beispiele: Die Buchstaben N, X, S sind punktsymmetrisch, die Buchstaben A, C, R sind es nicht. In der Analysis interessiert oft die...
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In der Geometrie eine andere Bezeichnung für die Drehung einer Figur oder eines Körpers.