Algebra – Klassenarbeiten
Algebra – Lexikoneinträge
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Unter einer Exponentialgleichung versteht man einer Gleichung , in der eine Variable im Exponenten einer Potenz, d. h. als Argument einer Exponentialfunktion auftaucht, eine Logarithmusgleichung ist dementsprechend eine Gleichung mit einer Variablen in einem Logarithmusterm bzw. als Argument einer Logarithmusfunktion . Anmerkung: Natürlich kann man beliebig komplizierte Gleichung mit Exponential-, Logarithmus- und anderen noch seltsameren Termen aufstellen, meistens hat man es in der Schule aber „nur“ mit einer Sorte komplizierte Funktion pro Gleichung zu tun, also sozusagen mit „reinen“...
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Ein mathematischer Ausdruck, in dem zwei Terme T 1 und T 2 durch ein Gleichheitszeichen verknüpft sind, heißt Gleichung : T 1 = T 2 (steht dort statt „=“ ein anderes Verknüpfungszeichen wie z. B. „<“ oder „ \(\ne\) “, handelt es sich um eine Ungleichung ). T 1 nennt man (naheliegenderweise) „ linke Seite “ und T 2 „ rechte Seite “ der Gleichung. Treten in den Termen keine Variablen auf, so ist T 1 = T 2 eine Aussage . In diesem Fall lässt sich immer eindeutig feststellen, ob die Gleichung eine wahre oder eine falsche Aussage ist. Beispiele: 3 + 9 = 12 ist eine wahre Aussage 3 + 9 = 13 ist eine...
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Die irrationalen Zahlen sind alle Zahlen, die sich nicht als Quotient bzw. Verhältnis (lateinisch „ratio“) aus zwei ganzen Zahlen schreiben lassen, also nicht zur Menge \(\mathbb Q\) der rationalen Zahlen gehören. Die irrationalen und die rationalen Zahlen bilden zusammen die Menge \(\mathbb R\) der reellen Zahlen . (Es gibt keinen speziellen „Mengenbuchstaben“ für die Menge der irrationalen Zahlen, man kann sie beispielsweise als \(\mathbb R \setminus \mathbb Q\) schreiben. Den Unterschied zwischen rationalen und irrationalen Zahlen erkennt man an ihrer Darstellung als Dezimalzahlen : Es...
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Lineare Ungleichungssysteme unterscheiden sich, wie der Name schon erahnen lässt, von Linearen Gleichungssystemen (LGS) darin, dass an die Stelle des Gleichheitszeichens ein anderes Vergleichszeichen tritt, z. B. „ \(\le\) “ oder „>“ ( Ungleichungen ). Im Folgenden wird zunächst ein lineares Ungleichungssystem mit einer Variablen vorgestellt. Gesucht ist die Lösung des folgenden Systems aus zwei Ungleichungen ( \(D = G = \mathbb R\) ): \(\begin{matrix} \text{(I)} &4x& +&5&> &-3\\ \text{(II)} &8x& +&2&< &2 \end{matrix}\) Zunächst bestimmen wir die Teillösungsmengen von Ungleichung \(\text{(I)...
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Die Prozentrechnung behandelt die Angabe von relativen Anteilen als Prozentsätze sowie mit der Umrechnung zwischen den verschiedenen Darstellungsmöglichkeiten von solchen Anteilen. Die Grundgleichung der Prozentrechnung lautet: \(\dfrac W G = p\, \% \equiv \dfrac p {100} \ \ \Leftrightarrow \ \ W= p\, \% \cdot G \equiv \dfrac {p \cdot G}{100} \ \ \Leftrightarrow \ \ G = \dfrac W {p\, \%} \equiv 100 \cdot \dfrac W p\) Dabei sind G der Grundwert (die Bezugsgröße oder Gesamtmenge) und W der Prozentwert (die interessierende Menge in absoluten Zahlen). Beispiel: In der Klasse 6a fahren von G = 25...
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Beim Rechnen mit Brüchen sind einige Besonderheiten zu beachten, auch wenn sich im Prinzip jeder Bruch auch als normale Division schreiben und berechnen ließe: \(\displaystyle \frac 3 4 + \frac {17}{49} = 3 : 17 + 17 : 49\) . Gleichnamige Brüche werden addiert bzw. subtrahiert , indem man die Zähler addiert bzw. subtrahiert und den Nenner beibehält. Ungleichnamige Brüche müssen erst gleichnamig gemacht (auf ihren Hauptnenner gebracht) werden. \(\displaystyle \frac a c + \frac b c = \frac {a+b} c \ \ (c \ne 0)\) \(\displaystyle \frac 4 3 + \frac 5 7 = \frac {28+15} {21} = \frac {43}{21} = 2...
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In der Prozentrechnung benutzt man den Wachstumsfaktor q , um zwei aufeinanderfolgende Werte P 0 und P 1 einer Reihe zu vergleichen, oder auch, um bei der Zinsrechnung das Endkapital nach einer bestimmten Anzahl von Jahren mit dem ursprünglichen Grundkapital ins Verhältnis zu setzen. Der Wachstumsfaktor q berechnet sich wie folgt: \(\displaystyle q=\frac{P_1}{P_0}=1+\frac{p}{100} \) wobei p in % den Prozentsatz bezeichnet. Um im normalen Sinn von einem Wachstum sprechen zu können, muss p > 0 und dementsprechend q > 1 sein, nur dann ist P 1 größer als der vorherige Wert P 0 . Ist dagegen p < 0...
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Das Wurzelziehen oder Radizieren ist die Umkehroperation des Potenzierens , sofern man sich auf nichtnegative reelle Zahlen beschränkt: \(x = a^2 \ \ \Rightarrow \ \ \sqrt x = a \ \ (x \in \mathbb R_0^+)\) bzw. \(x = a^n \ \ \Rightarrow \ \ \sqrt[n] x = a \ \ (x \in \mathbb R_0^+)\) \(\displaystyle \left( \sqrt[n] x \right)^n = \sqrt[n]{x^n} = x \ \ (x \in \mathbb R_0^+)\) Die Zahl oder der Term „unter der Wurzel“ heißt Radikand , die Zahl n Wurzelexponent . Es gilt weiterhin: \(\sqrt{x^2} = |x|\) (eine Wurzel ist nie negativ) Achtung: Für negative Radikanden sind die obigen Terme nicht...
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Gleichungen , bei denen die Variable unter einer Wurzel auftritt, heißen Wurzelgleichungen . Achtung: Bei Wurzelgleichungen muss die Definitionsmenge D so gewählt werden, dass unter der Wurzel keine negativen Werte auftreten können! Beispiele: \(\sqrt{2x+1}=x+1; \ \ D = \{x\in \mathbb R | x \ge -0,5 \}\) \(1+\sqrt{5x-1}=x+3,5; \ \ D = \{x\in \mathbb R | x \ge 0,2 \}\) \(\sqrt{x^2-6}=\sqrt{2x+2} ; \ \ D = \{x\in \mathbb R | x \ge \sqrt 6 \approx 2,45 \}\) Beim Lösen wird die Gleichung so umgestellt, dass der Wurzelterm auf einer Seite allein steht. Dann werden beide Seiten der Gleichung...