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Lexikon Physik

Stehende Wellen

Als stehende Welle bezeichnet man eine Welle, bei der sich die räumliche Lage der Schwingungs- bzw. Wellenbäuche und -knoten mit der Zeit nicht ändert, im Gegensatz zu einer fortschreitenden Welle.

Eine stehnde Welle transportiert, anders als eine fortschreitende, keine Energie. Sie entsteht, wenn sich zwei ebene harmonische Wellen (Sinuswellen) mit gleicher Frequenz und Amplitude, aber entgegengesetzter Ausbreitungsrichtung überlagern (Interferenz). Dies geschieht z. B. , wenn eine Welle an einem Hindernis reflektiert wird und sich einfallende und reflektierte Welle überlagern (Abb.).

Stehende Wellen - Abbildung 1

In einer stehenden Welle schwingen alle Punkte des Mediums mit gleicher Phase, aber unterschiedlicher Amplitude A. Sie erreichen ihre jeweils maximale Auslenkung wie auch ihre Nulllage zur gleichen Zeit. Punkte mit maximaler Amplitude nennt man (Schwingungs-)Bäuche, Punkte, an denen das Medium immer in Ruhe ist (A = 0), (Schwingungs-)Knoten. Der Abstand zwischen zwei benachbarten Bäuchen (bzw. Knoten) beträgt jeweils eine halbe Wellenlänge, also \(\lambda /2\), ein Bauch ist vom nächsten Knoten jeweils eine viertel Wellenlänge entfernt. Zu bestimmten Zeitpunkten befindet sich das ganze Medium in der Nulllage (in der Abb. bei t = 13 und t = 19).

Einfache Beispiele für stehende Wellen sind die Bewegung eines an einer Türklinke festgeknoteten Seils, das gleichmäßig auf und ab bewegt wird, die Luftschwingungen in einer Flöte oder Chladni’sche Klangfiguren – Letztere sind ein Beispiel für eine stehende Welle in zwei Dimensionen. Im Resonator eines Lasers bildet sich eine stehende Lichtwelle.

Man unterscheidet bei stehnde Wellen zwischen der Reflexion am offenen und der am geschlossenen/festen Ende oder, physikalisch, zwischen Reflexion am dichteren bzw. am dünneren Medium.

  • Bei Reflexion einer Seilwelle mit losem Ende, Reflexion einer Schallwelle am offenen Ausgang eines Rohrs oder Reflexion einer Lichtwelle an einem Medium mit höherem Brechungsindex treten ein Phasensprung um 180° bzw. \(\pi\) und ein Gangunterschied von \(\lambda /2\)

     auf: Wenn die einfallende Welle maximal negative Auslenkung hat, hat die reflektierte Welle maximal positive und umgekehrt (Abb.). Damit befindet sich am offenen reflektierenden Ende ein Schwingungsbauch.
  • Bei Reflexion am festen Ende (geschlossenes Rohr, Übergang zu niedrigerem Brechungsindex) gibt es dagegen keinen Phasen- oder Gangunterschied, und das Ende ist ein Knoten.

Stehende Wellen - Abbildung 2

Daraus ergibt sich, dass je nach Art der Reflexion bei gegebener Länge l des schwingenden Mediums sich für unterschiedliche Wellenlängen stehnde Wellen ausbilden: Bei zwei festen Enden oder zwei losen Enden muss

\(l = n \cdot \dfrac \lambda 2 \quad (n = 1,\, 2,\,3,\,\ldots)\)

gelten,  bei einem festen und einem losen Ende

\(l = m \cdot \dfrac \lambda 4 \quad (m = 1,\, 3,\,5,\,\ldots)\)

Dies führt zu einer fundamentalen Erkenntnis: Allgemein gibt es bei jedem schwingfähigen System bestimmte Wellenlängen, bei denen sich stehende Wellen ausbilden und die von den Abmessungen des Systems sowie der darin herrschenden Wellengeschwindigkeit abhängen. Die zugehörige Frequenz heißt Eigenfrequenz. Wird das System periodisch mit dieser Frequenz angeregt, so spricht man von einer Resonanz.

Die stehnde Welle mit der größten erlaubten Wellenlänge, also der kleinsten Eigenfrequenz, nennt man Grundschwingung (in der Akustik auch Grundton), bei einer Flöte oder Geige ist der tiefste Ton, der mit dem Instrument erzeugt werden kann. Ddie übrigen Schwingungen heißen Oberschwingungen oder -töne.

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