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Lexikon Physik

Schrödinger-Gleichung

Die Schrödinger-Gleichung (nach Erwin Schrödinger) ist die grundlegende Differenzialgleichung der (nicht relativistischen) Quantenmechanik, die an die Stelle der Bewegungsgleichung der Mechanik tritt.

Sie ist eine Gleichung für die zunächst unbekannte Wellenfunktion \(\Psi(x,\, t)\) eines Quantenobjekts, d. h. sie stellt Forderungen an Wellenfunktionen. Die Lösungen der Gleichung sind die physikalisch möglichen Wellenfunktionen, etwa im Wasserstoffatom die die erlaubten Elektronenorbitale.

Im einfachen Fall, dass die Bewegung eines Teilchens auf eine Dimension beschränkt ist und die äußeren Bedingungen nicht von der Zeit abhängen, nimmt die Differenzialgleichung eine Form an, die man auch mit Mitteln der Schulmathematik verstehen kann:

\(\dfrac{\text d^2\Psi}{\text d x^2} + \dfrac{8\pi^2\cdot m}{h^2} \cdot (E - E_\text{pot})\Psi = 0\)  bzw.   \(\Psi'' =- \dfrac{8\pi^2\cdot m}h^2{} \cdot (E - E_\text{pot})\Psi \)

(m: Masse des Teilchens, h: Planck’sches Wirkungsquantum, E: Teilchenenergie, Epot: potenzielle Energie des Teilchens aufgrund der einwirkenden äußeren Kräfte). Funktionen, die bis auf einen Faktor gleich ihrer eigenen zweiten Ableitung sind, sind z. B. Sinus und Kosinus. Der Vorfaktor ist dann proportional zur Frequenz der Sinusschwingung – also sind Energie und Frequenz eines Quantenobjekts proportional!

 

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