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Zweidimensionale Bewegung (1)


Aufgabe 1

Ergänze folgenden Lückentext mit den richtigen Ausdrücken aus der Liste am Ende des Textes. Die Ausdrücke können einmal, mehrfach oder gar nicht verwendet werden.

Die ________________ gibt die Zeit an, die für einen Umlauf um den ________________ benötigt wird, ihr Symbol ist ________________, ihre Einheit lautet________________. Die Anzahl der Umdrehungen pro Sekunde ist die ________________, ihre Einheit ist ________________, ihr Symbol ist ________________. Es gibt zwei Möglichkeiten, die Geschwindigkeit der ________________ anzugeben: durch die ________________ oder durch die ________________. Damit ein Objekt auf einer Kreisbahn bleibt, muss die ________________ hinreichend groß sein, sie hängt ab vom Radius der Kreisbahn, von der Masse des Objektes und von seiner Geschwindigkeit. Das ________________ gibt an, wie stark eine Kraft auf einen drehbaren Körper wirkt, seine Einheit ist ________________, sein Symbol ________________. Der ________________ beschreibt den Bewegungszustand des Körpers, seine Einheit ist ________________, sein Symbol ist ________________.

Liste: Drehgeschwindigkeit, F, \(\frac{\text{kg}\ \cdot\ \text m^2}{\text s}\), Kreisbewegung, Körper, Umlaufdauer, Drehmoment, T, M, Bahngeschwindigkeit, s, Frequenz, Kreisbogen, Z, Winkelgeschwindigkeit, f, L, Drehimpuls, Hz, Zentripetalkraft, Kreis, Nm, Anziehungskraft

Lösung

Die Umlaufdauer gibt die Zeit an, die für einen Umlauf um den Kreis benötigt wird, ihr Symbol ist T ihre Einheit lautet s. Die Anzahl der Umdrehungen pro Sekunde ist die Frequenz, ihre Einheit ist Hz, ihr Symbol ist f. Es gibt zwei Möglichkeiten, die Geschwindigkeit der Kreisbewegung anzugeben: durch die Winkelgeschwindigkeit oder durch die Bahngeschwindigkeit. Damit ein Objekt auf einer Kreisbahn bleibt, muss die Zentripetalkraft hinreichend groß sein, sie hängt ab vom Radius der Kreisbahn, von der Masse des Objektes und von seiner Geschwindigkeit. Das Drehmoment gibt an, wie stark eine Kraft auf einen drehbaren Körper wirkt, seine Einheit ist Nm, sein Symbol M. Der Drehimpuls beschreibt den Bewegungszustand des Körpers, seine Einheit ist \(\color\orange{\frac{\text{kg}\ \cdot\ \text m^2}{\text s}}\), sein Symbol ist L.

  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  10 Minuten
  • Punkte:  17

Aufgabe 2

Ein Windrad hat bis zur Spitze einen Radius von 10 cm. Das Windrad rotiert mit einer Frequenz von f = 1 Hz.

  1. Welchen Weg legt eine Windradspitze in einer Minute zurück?
  2. Welche Bahngeschwindigkeit hat eine Windradspitze?

Lösung

  1. Für die Berechnung der Weglänge bei einer Kreisbewegung multipliziert man den überstrichenen Winkel \(\phi\) mit dem Radius r. Die Winkelgeschwindigkeit ergibt sich aus:\(\omega =\color\orange{2\cdot\pi\cdot f}=2\cdot\pi\cdot1\,\frac{1}{s}\approx\color\orange{6{,}28\,\frac{1}{s}}\)

    Berechnung des Weges:
    \(\color\orange{s=r\cdot\phi}=0,1\,\text{m}\cdot 377=\color\orange{37,7\text{m}}\)


     

    Antwortsatz: Eine Windradspitze legt in 60 Sekunden einen Weg von 37,7 Metern zurück.

  2. Die Winkelgeschwindigkeit ist schon bekannt, die Bahngeschwindigkeit v berechnet sich aus:
    \(\color\orange{v=\omega\cdot r}\)
    \(v=6{,}28\cdot0,1\,\frac{\text{m}}{\text{s}}=\color\orange{0{,}628\,\frac{\text{m}}{\text{s}}}\)

    Antwortsatz: Eine Windradspitze bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von 0,628 Metern pro Sekunde.

  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  8 Minuten
  • Punkte:  10

Aufgabe 3

Eine DVD dreht sich mit 11.000 Umdrehungen pro Minute. Der Durchmesser einer DVD beträgt 12 cm.

  1. Wie groß ist die Geschwindigkeit am äußeren Rand der Scheibe?
  2. Wie groß ist die Zentripetalkraft am äußeren Scheibenrand, wenn die DVD eine Masse von 10 g hat?

Lösung

  1. Die Geschwindigkeit am äußeren Scheibenrand ergibt sich aus \(\color\orange{v=\frac{U}{T}} \), wobei \(U\) der Kreisumfang und \(T\) die Periodendauer ist. Der Kreisumfang \(U\) beträgt:
    \(U=\pi\cdot d=\pi\cdot 12\approx \color\orange{0{,}77\,\text{m}}\)
    Die DVD dreht sich 11.000-mal in 60 Sekunden, somit ergibt sich:
    \(\color\orange{T=0{,}00545\,\text{s}}\)

    Der Rand der DVD bewegt sich also mit:


    \(v=\frac{U}{T}=\frac{0{,}377\,\text{m}}{0{,}00545\,\text{s}}\approx\color\orange{69{,}1\,\frac{\text{m}}{\text{s}}}\)

  2. Für die Zentripetalkraft am Rand der Scheibe gilt:
    \(\color\orange{F_Z=\frac{m\ \cdot\ v^2}{r}}=\frac{0{,}01\,\text{kg}\ \cdot\ 69,1^2\frac{m^2}{s^2}}{0{,}06\,\text{m}} \approx\color\orange{800\,\text{N}}\)

    Antwortsatz: Die DVD dreht sich am Rand mit einer Geschwindigkeit von \(69,1\,\frac{m}{s}\), dabei wirkt eine Zentripetalkraft von \(800\ \text{N}\) auf den Rand.

  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  8 Minuten
  • Punkte:  6

Aufgabe 4

Auf dem Jahrmarkt versucht sich Klara im Dosenwerfen. Sie wirft einen Ball mit der Masse 40 g auf eine Dose mit der Masse 300 g. Der Ball trifft auf die Dose mit einer Geschwindigkeit von 60 m/s. Die Dose steht 1,50 m über dem Boden. Wir nehmen an, dass Dose und Ball aneinanderhängend zu Boden fallen.

  1. Mit welcher Geschwindigkeit bewegen sich Dose und Ball, wenn wir die Reibung außer Acht lassen?
  2. Wie weit hinter der ursprünglichen Position der Dose würden Ball und Dose auf dem Boden landen, wenn die Schießbude keine Rückwand hätte?

Lösung

  1. Sei \(m_1=40\,\text{g}, \, m_2=300\,\text{g},\, v_1 =60\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\) und \(v_2\) die Geschwindigkeit nach dem Aufprall.

    Es gilt der Impulserhaltungssatz:
    \(\color\orange{m_1\cdot v_1=(m_1+m_2)\cdot v_2}\)


    Die Gleichung wird nach \(v_2\) umgestellt:
    \(\color\orange{v_2=\frac{m_1 \,\cdot \,v_1}{m_1 \,+ \, m_2}}\)



    Das Einsetzen der Werte ergibt: 
    \(v_2=\frac{40\,\text{g}\ \cdot\ 60\,\frac{\text{m}}{\text{s}}}{340\,\text{g}}\approx\color\orange{7,1\,\frac{\text{m}}{\text{s}}}\)
     

    Antwortsatz: Dose und Ball bewegen sich nach dem Zusammentreffen mit einer Geschwindigkeit von \({7,1\,\frac{\text{m}}{\text{s}}}\).

  2. Zunächst muss die Zeit berechnet werden, die Dose und Ball für die Strecke von 1,50 m Höhe benötigen. Das lässt sich aus der Bewegungsgleichung der gleichmäßig beschleunigten Bewegung im freien Fall berechnen.
    \( \color\orange{h=\frac{1}{2}\cdot \, g\cdot \, t^2}\rightarrow \color\orange{t=\sqrt{\frac{2h}{g}}}\approx\sqrt{\frac{2\ \cdot\ 1,50\,\text{m}}{9,81\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}}}\approx \color\orange{0,{}55\,\text{s}}\)

    Die horizontale Strecke in dieser Zeit berechnet sich mit:
    \(\color\orange{s=v_2\cdot t}=7{,}1\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot\, 0{,}55\, \text{s}\approx\color\orange{3{,}90\,\text{m}}\)

    Antwortsatz: Dose und Ball landen in einer Entfernung von 3,90 Metern hinter der Startposition der Dose.

  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  10 Minuten
  • Punkte:  8

Aufgabe 5

Ein geostationärer Satellit kreist in einer Höhe von 35.863 km über dem Äquator und braucht für einen vollen Umlauf 24 h, er scheint daher fest über einem bestimmten Punkt auf der Erde zu stehen. Der Erdradius beträgt ca. 6370 km, die Masse der Erde \(5{,}7\cdot10^{24}\,\text{kg}\). Weise nach, dass sich in dieser Höhe Zentripetalkraft und Gravitationskraft aufheben.

Lösung

Zu zeigen: \(F_Z\, =F_G\)
Hier ist die Zentripetalkraft: \(F_Z=m\cdot \omega^2\cdot r\)
Und die Gravitationskraft: \(F_G=G\cdot \frac{m\ \cdot\ M}{r^2}\)
Es gilt: 

\(\color\orange{m\cdot \omega^2\cdot r=G\cdot \frac{m\ \cdot\ M}{r^2}}\)

\(M\) ist die Masse der Erde, \(m\) die Masse des Satelliten, \(r\) der Abstand des Satelliten vom Erdmittelpunkt, \(G\) die Gravitationskonstante und \(\omega \) die Winkelgeschwindigkeit des Satelliten. Die Gleichung wird nach \(r\) aufgelöst.

\(r^3=G\cdot \frac{M}{\omega^2}\rightarrow r=\color\orange{\sqrt[3]{G\cdot\frac{M}{\omega^2}}}\)

Die Winkelgeschwindigkeit muss gleich der Geschwindigkeit der Erde sein.

\(\color\orange{\omega = \frac{2\pi}{T}}=\frac{2\pi}{24\,\text{h}}=\frac{2\pi}{24\,\cdot \,60\,\cdot\, 60\,\text{s}}\approx\color\orange{7{,}26\cdot 10^{-5}\,\frac{\text{rad}}{\text{s}}}\)

Die Gravitationskonstante \(G\) ist:
\(G=6{,}67\cdot 10^{-11}\,\frac{\text{m}^3}{\text{kg}\ \cdot\ \text{s}^2}\)

Damit ergibt sich für \(r\):

\(r=\color\orange{\sqrt[3]{6{,}67\cdot 10^{-11}\frac{\text{m}^3}{\text{kg}\ \cdot\ \text{s}^2}\cdot\frac{5{,}97\ \cdot\ 10^{24}\,\text{kg}}{(7{,}27\ \cdot\ 10^{-5}\,\frac{\text{rad}}{\text{s}})^2}}}\)

Dieser Radius entspricht der Summe des Erdradius und der Flughöhe des Satelliten.

  • Schwierigkeitsgrad:  3
  • Zeit:  7 Minuten
  • Punkte:  3
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