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Musterlösung

Innere Energie 1

Angaben

\(c_{_{H_{2}O}}= 4{,}2\;\frac{\text{J}}{\text{g}\,\cdot\,\text{K}}\)

\(c_{_{Alu}}= 0{,}90\;\frac{\text{J}}{\text{g}\,\cdot\,\text{K}}\)

\(c_{ _{Porzellan}}= 0{,}85\;\frac{\text{J}}{\text{g}\,\cdot\,\text{K}}\)

Aufgabe 1

Beantworte kurz folgende Fragen:

  1. Was beschreibt die spezifische Wärmekapazität eines Stoffes?
  2. Was versteht man unter Schmelzenergie?
  3. Warum gibt es eine tiefste Temperatur, aber keine höchste?

Lösung

  1. Die spezifische Wärmekapazität ist eine Materialkonstante, die für jeden Stoff angibt, wie viel Energie man benötigt, um ein Gramm des Stoffes um ein Grad Kelvin zu erwärmen. 
    Falls du das nicht weißt, kannst du dir noch mal die Definition der 
    spezifischen Wärmekapazität anschauen.
  2. Unter Schmelzenergie versteht man die Energie, die nötig ist, um einen Stoff vom festen Aggregatzustand in den flüssigen Aggregatzustand zu bringen.
    Falls du das nicht weißt, kannst du dich noch mal mit den Aggregatzuständen beschäftigen.
  3. Die Temperatur ist ein Maß für die innere Energie. Die innere Energie ergibt sich dem Teilchenmodell zufolge aus der brownschen Molekularbewegung der Atome. Da Atome sich immer noch schneller bewegen können, gibt es theoretisch keine höchste Temperatur. Die tiefste Temperatur ist der absolute Nullpunkt, an dem sich die Atome nicht mehr bewegen. Weniger als überhaupt nicht können sie sich nicht bewegen. Deswegen gibt es keine Temperatur unter dem absoluten Nullpunkt.

Falls du das nicht weißt, kannst du dir noch mal anschauen, was die brownsche Molekularbewegung ist.

  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  10 Minuten
  • Punkte:  6

Aufgabe 2

Welche Leistung hat ein Wasserkocher, der \(1,8\,\text l\) Wasser in 5 Minuten von \(20^\circ \text C\) auf \(95^\circ \text C\) erwärmen kann?

Lösung

Schritt 1: Stelle fest, was gegeben und gesucht ist

Gegeben:
Volumen Wasser: \(1,8\,\text l\)
Temperatur tief: \(20^\circ \text C\)
Temperatur hoch: \(95^\circ \text C\)

Gesucht:
Leistung Wasserkocher: ?

Schritt 2: Finde die richtige Formel

Es geht um Wärmeenergie, da das Wasser erwärmt wird. Die Formel dazu lautet:

\(\Delta Q= \, c\cdot\, m\, \cdot\,\Delta\vartheta= \,c\cdot \,m\,\cdot\,( \vartheta_2\,-\,\vartheta_1)\)

Wenn dir die Formel nichts sagt, kannst du dich hier zu Wärmeenergie informieren.

Jetzt musst du aber noch die Leistung einbauen. Die Energie für die Erwärmung kommt aus elektrischer Energie und der Zusammenhang zwischen elektrischer Energie und elektrischer Leistung wird in dieser Formel beschrieben:

\(E_{ele}=\, P\,\cdot\, t\)

Falls das unklar ist, solltest du dich noch mal mit der elektrischen Leistung beschäftigen.

Wegen des Energieerhaltungssatzes gilt:

\(\Delta Q = \,E_{ele}\)

Dazu kannst du dich noch mal über den Energieerhaltungssatz informieren.

Schritt 3: Stelle die Formel nach dem Gesuchten um

\(\Delta Q =\, E_{ele}\)

\(c\,\cdot\, m\,\cdot\,( \vartheta_2\,-\,\vartheta_1) = \,\color{red}P\,\cdot\, t\)

\(\color{red}P =\,\frac{c\,\cdot \,m\,\cdot\,( \vartheta_2\,-\,\vartheta_1)}{t} \)

Schritt 4: Rechne die gegebenen Werte in die richtigen Einheiten um

\(c =\, c_{_{H_2O}}=\,4{,}2\;\frac{\text{J}}{\text{g}\;\cdot\, \text{K}}\)

\(m = \,m_{_{H_2O}}=\, V_{_{H_2O}}\,\cdot\, \rho_{_{H_2O}}= 1{,}8\;\text{l}\,\cdot\,1000\; \frac{\text{g}}{\text{l}}= \,1800\;\text{g}\)

\(\Delta\vartheta =\, \vartheta_2 \,- \,\vartheta_1=\, 95\,^{\circ}\mathrm{C}\,- \,20\,^{\circ}\mathrm{C}=\,75\,^{\circ}\mathrm{C}=\,75\,\text K\)

\(t =\, 5 \,\text{min}=\,300\,\text{s}\)

Schritt 5: Setze die Werte in die Formel ein und rechne sie aus

\(\begin{align*} \large\color{red} P &=\,\frac{c\,\cdot\, m\,\cdot\,( \vartheta_2\,-\,\vartheta_1)}{t} = \frac {4{,}2\;\frac{\text{J}}{\text{g}\;\cdot\,\text{K}}\,\cdot\,1800\,\text{g}\,\cdot\,75\,\text{K}}{300\,\text{s}}=\frac{4{,}2\,\cdot\,1800 \cdot \, 75}{300}\,\cdot\,\frac{\text{J}\;\cdot\,\text{g}\;\cdot\,\text{K}}{\text{g}\;\cdot\,\text{K}\;\cdot\,\text{s}} \\ &= \frac{4{,}2\,\cdot\,1800 \cdot \,75}{300}\,\cdot\,\frac{\text{J}\;\cdot\,\text{g}\;\cdot\, \text{K}}{\text{g}\;\cdot\,\text{K}\;\cdot\,\text{s}}=\, 1890\,\frac{\text{J}}{\text{s}} =\, 1890 \,\text{W} \end{align*} \)

Falls du dir noch nicht sicher bist, kannst du dir noch mal anschauen, wie man mit Wärmeenergie rechnet.

Lösung

Der Wasserkocher hat eine Leistung von 1890 Watt.

  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  5 Minuten
  • Punkte:  3

Aufgabe 3

Eine \(150\,\text g\) schwere Aluminiumkugel wird mit einem Bunsenbrenner erwärmt und dann in \(800 \,\text{ml}\) Wasser gelegt. Das Wasser erwärmt sich dadurch von \(22{,}3^\circ \text C\) auf \(33{,}8^\circ \text C\).

a. Wie viel Energie wird dem Wasser zugeführt?

Schritt 1: Stelle fest, was gegeben und gesucht ist

Gegeben:
Masse Aluminiumkugel: \(150\,\text g\)
Volumen Wasser: \(800 \,\text{ml}\)
Temperatur Wasser kalt: \(22{,}3^\circ \text C\)
Temperatur Wasser warm: \(33{,}8^\circ \text C\) 

Gesucht:
Energiezufuhr: ?

Schritt 2: Finde die richtige Formel

Bei einer Zufuhr von Wärme lautet die Formel:

\(\Delta Q=\, c\,\cdot\,m\,\cdot\,\Delta\vartheta\)

Schritt 3: Stelle die Formel nach dem Gesuchten um

\(\color{red}{\Delta Q}=c\,\cdot\,m\,\cdot\,\Delta\vartheta\)

Schritt 4: Rechne die gegebenen Werte in die richtigen Einheiten um

\(c = c_{_{H_2O}}= 4{,}2\,\frac{\text{J}}{\text{g}\,\cdot\,\text{K}}\)

\(m =\, m_{_{H_2O}}=\,V_{_{H_2O}}\,\cdot\,\rho_{_{H_2O}}=\, 0{,}8 \,\text{l}\,\cdot\,1000 \,\frac{\text{g}}{\text{l}}=800\,\text{g}\)

\(\Delta \vartheta =\, \vartheta _2\,-\,\vartheta _1=\,33{,}8\,^{\circ}\mathrm{C}\,-\,22{,}3\,^{\circ}\mathrm{C}=11{,}5\,^{\circ}\mathrm{C}=11{,}5 \,\text{K}\)

Schritt 5: Setze die Werte in die Formel ein und rechne aus

\(\begin{align*} \color{red}{\Delta Q}&=\, c\,\cdot\,m\,\cdot\,\Delta\vartheta = \,4{,}2\,\frac{\text{J}}{\text{g}\,\cdot\,\text{K}}\,\cdot\,800\,\text{g}\,\cdot\,11{,}5\,\text{K} \\ &=4{,}2\,\cdot\,800\,\cdot\,11{,}5\, \frac{\text{J}\,\cdot\,\text{g}\,\cdot\,\text{K}}{\text{g}\,\cdot\,\text{K}}= 38\,640\,\text{J}\approx\,39 \,\text{kJ} \end{align*} \)

Wenn dir das zu schnell ging, kannst du dich noch mal damit beschäftigen, wie man die Wärmeenergie berechnet.

Lösung

Dem Wasser wird eine Energiemenge von 39 kJ zugeführt.

b. Wie heiß war das Aluminium, als es in das Wasser gelegt wurde?

Schritt 1: Stelle fest, was gegeben und gesucht ist

Gegeben:
Masse Aluminiumkugel: \(150\,\text g\)
Volumen Wasser: \(800 \,\text {ml}\)
Temperatur Wasser kalt: \(22{,}3^\circ \text C\) 
Temperatur Wasser warm = Temperatur Aluminium kalt: \(33{,}8^\circ \text C\) 
Energiezufuhr Wasser = Energieabnahme Aluminium: \(38{.}640 \,\text J\)

Gesucht:
Temperatur Aluminium warm: ?

Schritt 2: Finde die richtige Formel

Bei einer Abnahme der inneren Energie lautet die Formel:

\(\Delta Q=\, c\,\cdot\,m\,\cdot\,\Delta\vartheta =\, c\,\cdot\,m\,\cdot\,(\vartheta_2\,- \,\vartheta_1)\)

Schritt 3: Stelle die Formel nach dem Gesuchten um

\(\Delta Q=\, c\,\cdot\,m\,\cdot\,(\color{red}{\vartheta_2}\,-\, \vartheta_1)\)

\(\color{red}{\vartheta_2} = \,\frac{\Delta Q}{c\,\cdot\,m}\,+ \,\vartheta_1\)

Schritt 4: Rechne die gegebenen Werte in die richtigen Einheiten um

\(\Delta Q= \,38{.}640\,\text{J}\)

\(c = \,c_{Alu}=\, 0{,}9\,\frac{\text{J}}{\text{g}\,\cdot\,\text{K}}=\,0{,}9\,\frac{\text{J}}{\text{g}\,\cdot\,\,^{\circ}\mathrm{C}}\)

\(m = \,m_{Alu}=\,150\,\text{g}\)

\(\vartheta _1=\,33{,}8\,^{\circ}\mathrm{C}\)

Schritt 5: Setze die Werte in die Formel ein und reche aus

\(\begin{align*} \color{red} {\large\vartheta_2} &=\, \frac{\Delta Q}{c\,\cdot\,m}\,+ \,\vartheta_1= \,\frac{38{.}640\,\text{J}}{0{,}9\,\frac{\text{J}}{\text{g}\,\cdot\,^{\circ}\mathrm{C}}\,\cdot\,150\,\text{g}}\,+\,33{,}8\,^{\circ}\mathrm{C}=\, \frac{38{.}640}{0{,}9\,\cdot\,150}\,\cdot\,\frac{\text{J}}{\text{g}}\,\cdot\,\frac{\text{g}\,\cdot\,^{\circ}\mathrm{C}}{\text{J}}\,+\,33{,}8^{\circ}\mathrm{C}\\ &=\,286{,}2^{\circ}\mathrm{C}\,+\, 33{,}8^{\circ}\mathrm{C}=\,320^{\circ}\mathrm{C} \end{align*} \)

Falls noch etwas unklar ist, kannst du dir noch mal anschauen, wie man mit Wärmeaustausch rechnet.

Lösung

Das Aluminium hatte, als es ins Wasser gelegt wurde, eine Temperatur von \(320^\circ\,\text C\).

  • Schwierigkeitsgrad:  3
  • Zeit:  10 Minuten
  • Punkte:  5

Aufgabe 4

Beschreibe mithilfe des Teilchenmodells, wie die Wärmeweiterleitung in einem Metallstab funktioniert, der an einem Ende in die Flamme eines Bunsenbrenners gehalten wird.

Ein Feststoff, wie der Metallstab, wird im Teilchenmodell als eine Menge von Atomen beschrieben, die fest verbunden sind, aber an ihrem Platz schwingen können. Je größer diese Schwingung am Ort ist, desto größer ist die innere Energie der Atome und somit des Metallstabs. Da die Temperatur ein Maß für die innere Energie ist, steigt auch sie mit der Schwingung. Wird nun ein Ende des Metallstabes in eine heiße Flamme gehalten, wird an diesem Ende die Temperatur und somit die Schwingung der Atome am Ort erhöht. Diese Schwingung kann nun entlang des Stabes von Atom zu Atom übertragen werden. Die Schwingung wir schwächer, je weiter sie von der Hitzequelle entfernt ist.

Falls du das nicht mehr wusstest, kannst du dich zur Wärmeweiterleitung informieren.

  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  5 Minuten
  • Punkte:  3

Aufgabe 5

In einen Porzellanbecher der Masse \(200\,\text g\), der bei Zimmertemperatur \((20^\circ\,\text C)\) bereitstand, werden \(250\,\text{ml}\) Tee mit der Temperatur \(85^\circ\,\text C\) gegossen. Um wie viel Grad nimmt die Temperatur des Tees durch den Temperaturausgleich mit der Tasse ab?

Schritt 1: Stelle fest, was gegeben und gesucht ist

Gegeben:
Volumen Tee: \(250\,\text{ml}\)
Temperatur Porzellan kalt: \(20^\circ\,\text C\)
Temperatur Wasser heiß: \(85^\circ\,\text C\)
Masse Porzellan: \(200\,\text g\)

Gesucht:
Temperaturunterschied

Schritt 2: Finde die richtige Formel

Es geht um Wärmeaustausch und die Formel lautet:

\(\Delta\vartheta=\, \vartheta_m\,-\,\vartheta_1 =\, \vartheta_2\,-\,\vartheta_m\)

\(c_1\,\cdot\, m_1\,\cdot\,(\vartheta_m-\vartheta_1)=\,c_2\,\cdot\, m_2\,\cdot\,(\vartheta_2\,-\,\vartheta_m)\)

Schritt 3: Stelle die Formel nach dem Gesuchten um

Um den Temperaturunterschied auszurechnen, brauchst du die Mischtemperatur.

\(c_1\,\cdot\, m_1\,\cdot\,(\color{red}{\vartheta_m}\,-\,\vartheta_1)=\,c_2\,\cdot\, m_2\,\cdot\,(\vartheta_2\,-\,\color{red}{\vartheta_m})\)

\(\color{red}{\vartheta_m} =\, \frac{c_1\,\cdot\, m_1\,\cdot\,\vartheta_1\,+\,c_2\,\cdot\, m_2\,\cdot\,\vartheta_2}{c_1\,\cdot\, m_1\,+\,c_2\,\cdot\, m_2}\)

Schritt 4: Rechne die gegebenen Werte in die richtigen Einheiten um

\(c_1 =\,c_{_{Porzellan}}=\, 0{,}85\,\frac{\text{J}}{\text{g}\,\cdot\,\text{K}}\)

\(m_1=\,m_{_{Porzellan}}=\,200\,\text{g}\)

\(\vartheta_1 =\,\vartheta_{_{Porzellan\, kalt}} =\,20^{\circ}\mathrm{C}\)

\(c_2 =\, c_{_{H_2O}}=\,4{,}2\,\frac{\text{J}}{\text{g}\,\cdot\,\text{K}}\)

\(m_2 = \,m_{_{H_2O}}=\,V_{_{H_2O}}\,\cdot\,\rho_{_{H_2O}}=\,0{,}25\,\text{l}\,\cdot\,1000\,\frac{\text{g}}{\text{l}}=\,250\,\text{g}\)

\(\vartheta_2 =\,\vartheta_{_{H_2O\, heiß}} =\,85^{\circ}\mathrm{C}\)

Schritt 5: Setze die Werte in die Formel ein und rechne sie aus

\(\begin{align*} \color{red}{\large\vartheta_m} &=\, \frac{c_{1}\;\cdot\; m_{1}\; \cdot \;\vartheta_{1}\;+\;c_{2}\;\cdot \;m_{2} {\;\cdot \;\vartheta_{2}} }{ c_{1}\;\cdot \;m_{1}\; +\;c_{2}\;\cdot\; m_{2}}= \,\frac{0{,}85\;\frac{\text{J}}{\text{g}\, \cdot \;\text{K}}\,\cdot \;200\;\text{g}\; \cdot \;20 ^{\circ}\mathrm{C}\;+\;4{,}2\;\frac{\text{J}}{\text{g}\, \cdot \;\text{K}}\,\cdot \; 250\;\text{g}\;\cdot \;85^{\circ}\mathrm{C}}{\;0{,}85\;\frac{\text{J}}{\text{g}\, \cdot \;\text{K}}\,\cdot \; 200\;\text{g}\; +\,4{,}2\;\frac{\text{J}}{\text{g}\, \cdot \;\text{K}}\cdot \; 250\;\text{g}}\\ \large &= \,\frac{0{,}85\;\cdot\,200\;\cdot\,20\;\cdot\,\frac{\text{J}\;\cdot\,\text{g}\,\cdot\;^{\circ}\mathrm{C}}{\text{g}\;\cdot\,\text{K}}\,+\;4{,}2\;\cdot\,250\;\cdot\,85\;\cdot\,\frac{\text{J}\;\cdot\,\text{g}\,\cdot\;^{\circ}\mathrm{C}}{\text{g}\;\cdot\,\text{K}}}{\;0{,}85\;\cdot\,200\;\frac{\text{J}\; \cdot\,\text{g}}{\text{g}\;\cdot\,\text{K}}\; +\;4{,}2\;\cdot\,250\;\frac{\text{J}\;\cdot\,\text{g}}{\text{g}\;\cdot\,\text{K}}}=\,\frac{3400\;\frac{\text{J}\,\cdot\;^{\circ}\mathrm{C}}{\text{K}}\,+\;89{.}250\;\frac{\text{J}\,\cdot\;^{\circ}\mathrm{C}}{\text{K}}}{\;170\;\frac{\text{J}}{\text{K}}\; +\;1050\;\frac{\text{J}}{\text{K}}}=\,\frac{92{.}650\;\frac{\text{J}\,\cdot\;^{\circ}\mathrm{C}}{\text{K}}}{\;1220\;\frac{\text{J}}{\text{K}}} \end{align*} \)

\(\large\color{red} {\vartheta_m}= \,\frac{92{.}650}{\;1220}\,\cdot \;\frac{\frac{\text{J}\,\cdot\;^{\circ}\mathrm{C}}{\text{K}}}{\frac{\text{J}}{\text{K}}}=75{,}94\,\cdot \;\frac{\text{J}\,\cdot\;^{\circ}\mathrm{C}}{\text{K}}\,\cdot\;{\frac{\text{K}}{\text{J}}} =\,75{,}9^{\circ}\mathrm{C}\)

\(\color{red}{\Delta\vartheta} =\,\vartheta_2\,-\,\vartheta_m =\, 85^{\circ}\mathrm{C}\, -\,75{,}9^{\circ}\mathrm{C}=\,9{,}1^{\circ}\mathrm{C}\)

Lösung

Die Temperatur des Tees nimmt um \(9{,}1^\circ\,\text C\) ab.

  • Schwierigkeitsgrad:  3
  • Zeit:  10 Minuten
  • Punkte:  5

Aufgabe 6

Auf welche Temperatur erwärmen sich \(120\,\text l\) Badewasser, wenn das Wasser mit der Energiemenge \(E_Q= 2500\, \text {kJ}\) erwärmt wird und es anfangs eine Temperatur von \(18^\circ\,\text C\) hat?

Schritt 1: Stelle fest, was gegeben und was gesucht ist

Gegeben:
Volumen Wasser: \(120\,\text l\)
Energiemenge: \(E_Q= 2500\, \text {kJ}\)
Temperatur Wasser kalt: \(18^\circ \text C\)

Gesucht:
Temperatur Wasser warm

Schritt 2: Finde die richtige Formel

Es geht um Temperaturerhöhung und bei Wärmezufuhr benutzt man diese Formel:

\(\Delta Q =\, c\,\cdot\,m \,\cdot\,\Delta\vartheta\)

\(\Delta\vartheta= \,\vartheta_2\,-\, \vartheta_1\)

Das kannst du noch mal unter dem Thema Wärmezufuhr nachschauen.

Schritt 3: Stelle die Formel nach dem Gesuchten um

\(\Delta Q =\, c\,\cdot\,m \,\cdot\,\color{red}{\Delta\vartheta}\)

\(\Delta\vartheta=\, \color{red}{\vartheta_2}\,-\, \vartheta_1\)

\(\color{red}{\vartheta_2}= \,\vartheta_1\,+\,\Delta\vartheta\)

Schritt 4: Rechne die gegebenen Werte in die richtigen Einheiten um

\(\Delta Q =\,2500\,\text{kJ}=\,2{.}500{.}000\,\text{J}\)

\(c=c_{_{H_{2}O}}=\, 4{,}2\;\frac{\text{J}}{\text{g}\,\cdot\,\text{K}}\)

\(m=\,m_{_{H_2O}}=\, V_{_{H_2O}}\,\cdot\,\rho_{_{H_2O}}=\, 120\,\text{l}\,\cdot\,1000\,\frac{\text{g}}{\text{l}}=\, 120{.}000\,\text{g}\)

\(\vartheta_1=\,18\,^{\circ}\mathrm{C}\)

Schritt 5: Setze die Werte in die Formel ein und rechne sie aus

\(\large\color{red}{\Delta\vartheta}= \,\frac{\Delta Q}{c\,\cdot\,m}=\, \frac{2{.}500{.}000\,\text{J}}{4{,}2\;\frac{\text{J}}{\text{g}\,\cdot\,\text{K}}\,\cdot\,120{.}000\,\text{g}}=\,\frac{2{.}500{.}000}{4{,}2\,\cdot\,120{.}000\,}\,\cdot\,\frac{\text{J}}{\frac{\text{J}}{\text{g}\,\cdot\,\text{K}}\,\cdot\,\text{g}}=\,4{,}9603\,\frac{\text{J}\,\cdot\,\text{g}\,\cdot\,\text{K}}{\text{J}\,\cdot\,\text{g}}=4,96\,\text{K}\)

Wegen der Temperaturerhöhung gilt:

\(\Rightarrow4,96\,\text{K}=\,4{,}96\,^{\circ}\mathrm{C}\)

\(\color{red}{\vartheta_2}=\, \vartheta_1\,+\,\Delta\vartheta=\,18\,^{\circ}\mathrm{C}\,+\,4{,}96\,^{\circ}\mathrm{C}=\,22{,}96\,^{\circ}\mathrm{C}\approx\,23\,^{\circ}\mathrm{C}\)

Falls das unklar ist, kannst du dir noch mal die Kelvinskala anschauen.

Lösung

Das Badewasser wird auf eine Temperatur von \(23^\circ\,\text C\) erwärmt.

  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  5 Minuten
  • Punkte:  2
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