Was ist Impuls?
Wie du mit der Formel für Impuls rechnest
Aufgabe
Ein leerer Güterwagen mit einer Masse von \(15\ \text{t}\) prallt mit einer Geschwindigkeit von \(2\thinspace \frac{\text{m}}{\text{s}}\) auf einen stehenden Güterwagen der gleichen Masse. Dieser identische Güterwagen ist mit Sand befüllt. Während des Aufpralls koppeln die beiden Güterwagen an und fahren gemeinsam mit einer Geschwindigkeit von \(0{,}5 \thinspace \frac{\text{m}}{\text{s}}\) weiter. Wie schwer ist der Sand im Güterwagen?
Schrit 1: Stell fest, was gegeben und was gesucht ist
Zuerst solltest du dir die Aufgabe aufmerksam durchlesen und rausschreiben, was gegeben und was gesucht ist.
Hier sind folgende Größen gegeben:
Masse Güterwagen: \(15 \thinspace \text{t}\)
Geschwindigkeit vor dem Aufprall: \(2 \thinspace \frac{\text{m}}{\text{s}}\)
Geschwindigkeit nach dem Aufprall: \(0{,}5 \thinspace \frac{\text{m}}{\text{s}}\)
Gesucht ist:
Gewicht des Sands im zweiten Güterwagen
Schritt 2: Finde die richtige Formel
In diesem Schritt muss die richtige Formel gefunden werden, das ist sehr wichtig, damit du die Aufgabe ausrechnen kannst. Also überleg dir noch mal, worum es in dieser Aufgabe geht. Da gibt es einen Körper mit einer Masse und einer Geschwindigkeit, dieser Körper prallt auf einen zweiten Körper, wobei sie aneinanderdocken und mit einer gemeinsamen Geschwindigkeit weiterfahren. All dies hört sich ganz nach der Impulserhaltung an. Also benötigen wir die Formel für den Impuls und die für die Impulserhaltung.
\(m \; \cdot \; v_1 = m \; \cdot \; v_2\)
Dabei ist \(p = m\; \cdot \; v\) der Impuls.
\(\begin{align*} m &= \text{Masse} \\ v_1 &= \text{Geschwindigkeit vor dem Stoß} \\ v_2 &= \text{Geschwindigkeit nach dem Stoß} \end{align*}\)
Jetzt musst du nur noch die Masse nach dem Stoß anpassen. Sie verändert sich nämlich, denn nach dem Stoß werden zwei Güterwagen bewegt plus der Masse des Sands. Das sieht dann so aus:
\(m \; \cdot \; v_1 = (2\; \cdot \; m + m_s)\; \cdot \; v_2\)
Dabei ist zusätzlich:
\(m_s = \text{Masse des Sands}\)
Schritt 3: Stell die Formel nach dem Gesuchten um
Jetzt musst du die Formel umstellen, damit du sie dann nutzen kannst. Zuerst wird durch \(v_2 \) geteilt.
\(\begin{align*}m\; \cdot \; v_1 &= (2\; \cdot \; m +\color{red}{m_s}) \; \cdot \; v_2 \;\;\; &|:v_2 \\\\ \frac{m \; \cdot \; v_1}{v_2} &= 2\; \cdot \; m +\color{red}{m_s} \;\;\; &|-(2\; \cdot \; m) \\\\ \frac{m \; \cdot \; v_1}{v_2} - (2\; \cdot \; m) &= \color{red}{m_s} \end{align*}\)
Jetzt hast du die passende Formel.
Schritt 4: Rechne die gegebenen Werte in die richtigen Einheiten um
Jetzt musst du gucken, ob alle Einheiten richtig sind. Beginnen wir mit der Masse, sie ist in Tonnen angegeben. Am besten rechnest du das in Kilogramm um.
\(m = 15 \thinspace\text{t} = 15.000\thinspace \text{kg}\)
Die beiden Geschwindigkeiten sind richtig in \(\frac{m}{s}\) angegeben, deswegen hast du nun schon alle Einheiten richtig.
Schritt 5: Setze die Werte in die Formel ein und rechne sie aus
Nun kannst du die Werte von Schritt 1 bis Schritt 4 hier in die Formel einsetzen und ausrechnen.
\(\color{red}{m_s} = \frac{m \; \cdot \; v_1}{v_2} - (2\; \cdot \; m) = \frac{15.000\thinspace \text{kg}\; \cdot \; 2\thinspace\cancel{\frac{\text{m}}{\text{s}}}}{0{,}5\thinspace \cancel{\frac{\text{m}}{\text{s}}}} - (2 \; \cdot \; 15.000\thinspace \text{kg}) = 60.000\thinspace\text{kg} - 30.000\thinspace \text{kg} = 30.000\thinspace \text{kg}\)
Lösung
Die Masse des Sands ist 30.000 kg, also 30 t.
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