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Wie du mit Mischtemperaturen rechnest

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wie du mit der Formel für Mischtemperaturen rechnest

Aufgabe

Karen möchte gern ein Bad nehmen. In ihre Badewanne passen 120 Liter und das Wasser soll 40 °C warm sein. In der Wanne sind schon 40 Liter 18 °C kaltes Wasser. Welche Temperatur muss das Wasser haben, das Karen noch in die Wanne einlässt, damit sie ihr Wunschbad bekommt?

Schritt 1: Stelle fest, was gegeben und was gesucht ist

Lies dir die Aufgabe aufmerksam durch und schreibe dir auf, was gegeben und was gesucht ist.

Hier ist Folgendes gegeben:
Volumen Wanne insgesamt: 120 l
Mischtemperatur: 40 °C
Volumen kalt: 40 l
Temperatur kalt: 18 °C
Stoff warm: Wasser
Stoff heiß: Wasser

Und gesucht wird:
Temperatur heiß: ?

Schritt 2: Finde die richtige Formel

Das ist fast der wichtigste Schritt. Du musst herausfinden, welche Fromel du benutzen musst, um das Gesuchte zu finden. Überleg dir mal in allgemeinen Worten, worum es in der Aufgabe geht und welche Formel, die du schon kennst, dazu passt. Schau dir doch noch mal die gegebenen und gesuchten Werte an. Da gibt es eine bestimmte Menge kaltes Wasser, das auf ein bestimmtes Volumen mit heißem Wasser aufgefüllt werden soll, sodass sich eine bestimmte Mischtemperatur ergibt. Das Ganze hat also mit Wärme zu tun und gehört damit in die Wärmelehre. Es sind zwei unterschiedlich warme Stoffe beteiligt, es gibt also einen Wärmeaustausch.

Bei einem Wärmeaustausch benutzt du folgende Formel:

\(c_{1}\cdot m_{1} \cdot (\vartheta_{m}\,-\,\vartheta_{1})\, =\,c_{2}\cdot m_{2} \cdot (\vartheta_{2}\,-\,\vartheta_{m}) \)

\(c\) = spezifische Wärmekapazität
\(m\) = Masse
\(\vartheta \) = Temperatur

In der Formel ist \(c\) die spezifische Wärmekapazität, \(m\) ist die Masse und das kleine Theta, \(\vartheta\), steht für die Temperatur. Dabei steht \(\vartheta_m\) für die Mischtemperatur, alles mit der tiefgestellten 1 für kältere Körper und alles mit der tiefgestellten 2 für wärmere Körper.

Mischtemperatur = \(\vartheta_m\)
kältere Körper = \(c_1,\;m_1, \;\vartheta_1\)
wärmere Körper = \(c_2,\;m_2, \;\vartheta_2\)

Schritt 3: Stelle die Formel nach dem Gesuchten um

Nun musst die Formel nach dem Gesuchten umstellen. Das funktioniert genau so, wie wenn du in Mathe eine Gleichung nach einer Unbekannten auflöst. Nur ist hier die Unbekannte die gesuchte Größe. Wie das geht, kannst du dir hier anschauen.

In unserem Fall ist die gesuchte Größe, wie du in Schritt 1 festgestellt hast, die heißere Temperatur, also \(\vartheta_{2}\).

\({c_{1}\,\cdot \,m_{1} \,\cdot\, (\vartheta_{m}\,-\,\vartheta_{1}) \,=\,c_{2}\,\cdot m_{2} \,\cdot \,(\color{red} \vartheta_{\color{red} 2}\,-\,\vartheta_{m}) }\)

\(\frac{{c_{1}\,\cdot\, m_{1} \,\cdot\, (\vartheta_{m}\,-\,\vartheta_{1})}}{c_{2}\,\cdot \,m_{2}}\,=\, \color{red} \vartheta_{\color{red} 2}\,-\,\vartheta_{m}\)

\(\frac{{c_{1}\,\cdot\, m_{1} \,\cdot\, (\vartheta_{m}\,-\,\vartheta_{1})}}{c_{2}\,\cdot \,m_{2}}\,+\vartheta_{m}\,=\, \color{red} \vartheta_{\color{red} 2}\)

Das kannst du jetzt noch umdrehen, dann sieht es übersichtlicher aus.

\(\vartheta_{2}=\,\frac{{c_{1}\,\cdot\, m_{1} \,\cdot\, (\vartheta_{m}\,-\,\vartheta_{1})}}{c_{2}\,\cdot \,m_{2}}\,+\vartheta_{m}\)

Schritt 4: Rechne die gegebenen Werte in die richtige Einheit um

Jetzt musst du nur noch die gegebenen Werte üperprüfen, ob sie auch in die Formel passen und ob überall die Einheiten richtig sind. Das macht alles leichter, denn einheitliche Einheiten sind immer besser.

c1 und c2 sind die spezifischen Wärmekapazitäten der Stoffe 1 und 2. In dieser Aufgabe ist beides Wasser. In den meisten Fällen wird verlangt, dass du die spezifische Wärmekapazität von Wasser auswendig weißt oder sie wird angegeben. Hier gebe ich sie dir mal an:

\(c_{1}=\, c_{2}=\, 4{,}2\; \frac{\text{J}}{\text{g}\,\cdot\, \text{K}}\)

m1 und m2 sind die Massen des kalten bzw. des warmen Wassers. Jetzt ist aber das Volumen angegeben. Also musst du das umrechnen. Dazu auch noch mal ein Blick auf die Einheit der spezifischen Wärmekapazität. Es kommt g vor, also Gramm. Daher ist es am einfachsten, wir nehmen die Masse auch in Gramm. Du weißt sicherlich schon, dass ein Liter Wasser einem Kilogramm entspricht, also 1000 Gramm. Folglich ist die Dichte von Wasser \(\rho_{_{H_20}}=\, 1000\;\frac{\text{g}}{\text{l}}\). Dann geht das mit dem Umrechnen auch ganz leicht.

\(m_{1} = \,V\,\cdot\,\rho_{_{H_2O}}=\,40\;\text{l}\, \cdot\; 1000\,\frac{\text{g}}{\text{l}} =\, 40.000\; \text{g} \)

Jetzt brauchst du noch m2. Wir haben aber das Anfangsvolumen und das Endvolumen gegeben. m2 ist dann der Unterschied zwischen beiden. Hier musst du auch in Gramm umrechnen.

\(m_{2} =\, m_{Ges}\,-\,m_1 \)

\(m_{Ges}=\,120\; \text{l}\, \cdot\; 1000 \frac{\text{g}}{\text{l}} = \,120.000\; \text{g}\)

\(m_{2} =\, m_{Ges}\,-\,m_1=\,120.000\;\text{g}\,- \,40.000\;\text{g} =\, 80.000\; \text{g}\)

Jetzt fehlen nur noch die Temperaturen. Wegen der Einheiten solltest du auch noch mal auf die spezifische Wärmekapazität schauen. Da steht K für Kelvin. Aber Kelvin und Grad Celsius ergeben dann dasselbe, wenn sie eine Differenz bilden, also Kelvin minus Kelvin oder Grad minus Grad. Deswegen kann man statt Kelvin auch einfach Grad Celsius einsetzen. Warum genau das so ist, kannst du dir in dem Video über die Kelvinskala anschauen.

\(\begin{align*} \vartheta_{1} &=\, 18\,^{\circ}\mathrm{C}\\ \vartheta_{m} &= 40\,^{\circ}\mathrm{C} \end{align*} \)

Schritt 5: Setze die Werte in die Formel ein und rechne sie aus

Wenn du die Werte von Schritt 4 jetzt in die Formel einsetzt, kommt folgende Rechnung heraus:

\(\large\vartheta_{2}=\, \frac{4{,}2\; \frac{\text{J}}{\text{g}\,\cdot\,\text{K}}\,\cdot\,40.000\;\text{g}\,\cdot\,(40 \,^{\circ}\mathrm{C}\,-\,18\,^{\circ}\mathrm{C})}{4{,}2\; \frac{\text{J}}{\text{g}\,\cdot\,\text{K}}\,\cdot\,80.000\; \text{g}}\,+ \,40\,^{\circ}\mathrm{C}\)

Das ist jetzt ein ziemlich großer Bruch. Aber du kannst ihn ganz leicht vereinfachen.

Die spezifische Wärmekapazität von Wasser kommt oben und unten auf dem Bruchstrich in einem Produkt vor, deswegen kann man sie kürzen. Genauso das g von Gramm. 40.000 kann man gegen 80.000 kürzen, da bleibt unten 2 übrig. Die Temperaturen in der Klammer kannst du auch gleich voneinander abziehen.

\(\large{\vartheta_{2}=\, \frac{\color{blue}{\cancel{4{,}2\,\frac{\text{J}}{\text{g}\,\cdot\,\text{K}}}}\,\cdot\,\color{green}{\cancel{40\,000}}\,\color{fuchsia}{\cancel{\text{g}}}\,\cdot\,(\color{orange}{40\,^{\circ}\mathrm{C}\,-\,18\,^{\circ}\mathrm{C}})}{\color{blue}{\cancel{4{,}2\,\frac{\text{J}}{\text{g}\,\cdot\,\text{K}}}}\,\cdot\,\color{green}{\cancel{80\,000}}\,\cdot\,\color{fuchsia}{\cancel{\text{g}}}}}\,+\,40\,^{\circ}\mathrm{C}\)

Damit bleibt noch Folgendes:

\({\vartheta_{2}= \,\frac{22\;^{\circ}\mathrm{C}}{2}\,+ \,40\,^{\circ}\mathrm{C}}=\,11^{\circ}\mathrm{C}\,+\,40\,^{\circ}\mathrm{C}=\,51\,^{\circ}\mathrm{C}\)

Hier kannst du auch noch mal mit den Einheiten überprüfen, ob du alles richtig gemacht hast. Du musst eine Temperatur ausrechnen und die hat die Einheit Grad Celsius. Also ist das auch die Einheit, die rauskommen muss. Wie du sehen kannst, ist das auch der Fall und alles ist richtig. 

Du kannst auch den Bruch vom Anfang in den Taschenrechner eingeben. Dabei musst du aber auf die Klammersetzung und den Bruchstrich achten. Außerdem ist es immer gut, die Einheiten noch mal zu überprüfen. 

Jetzt musst du noch einen Antwortsatz schreiben und alles ist fertig.

Das heiße Wasser muss eine Temperatur von 51 °C haben, damit Karen bei 40 °C baden kann.

Lösung

Das heiße Wasser muss eine Temperatur von 51 °C haben, damit Karen bei 40 °C baden kann.

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