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Wie du den Widerstand in einer Parallelschaltung ausrechnest


Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wie du den Widerstand in einer Parallelschaltung ausrechnest

In dieser Aufgabe erkläre ich dir, wie du den Widerstand in einer Parallelschaltung ausrechnen kannst. Solltest du Probleme haben oder nicht wissen, was ein ohmscher Widerstand oder eine Parallelschaltung ist, dann schau dir dazu die Videos noch mal an.

Aufgabe

Die drei Widerstände \(\text R_1 = 180\, \Omega\), \(\text R_2 = 90\, \Omega\) und \(\text R_3 = 300\, \Omega\) sind parallel geschaltet. Die Gesamtspannung \(\text U_{\text {Ges}}\) beträgt \(18\, \text{V}\).

  1. Berechne den Gesamtwiderstand.
  2. Berechne die Gesamtstromstärke sowie die Teilstromstärken und Teilspannungen an den einzelnen Widerständen.

Teilaufgabe a

Berechne den Gesamtwiderstand

Schritt 1: Stelle fest, was gegeben und gesucht ist

Zu Beginn einer Aufgabe ist es immer wichtig, dass du dir aufschreibst, was gegeben und was gesucht ist. Gegeben hast du hier drei parallel geschaltete Widerstände und eine Gegenspannung. Daraus kannst du schon ableiten, dass du es mit einem Stromkreis zu tun hast.

Gegeben: Gesucht:

\(R_1 = 180\,\Omega\)

\(R_2 = 90\,\Omega\)

\(R_3 = 300\,\Omega\)

\(U_{ges}=18\,\text V\)

\(R_{ges}\)

Zu Beginn ist es sinnvoll, wenn du aus den gegebenen Informationen eine Skizze zu dem Thema erstellst.
Zu diese Aufgabe sähe die Skizze in etwas so aus:

Wie du den Widerstand in einer Parallelschaltung ausrechnest - Abbildung 1

Schritt 2: Finde die richtige Formel

Wie du schon weißt und in der Skizze erkennen kannst, hast du es mit einem elektrischen Stromkreis zu tun, bei dem der Gesamtwiderstand berechnet werden soll. Bei parallel geschalteten Widerständen lautet die Formel für den Gesamtwiderstand:

\(\frac{1}{R_{ges}}= \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} + \frac{1}{R_{3}}\)

Schritt 3: Stelle die Formel nach dem Gesuchtem um

Die in Schritt 2 gefundene Formel für den Gesamtwiderstand lautet \(\frac{1}{R_{ges}}= \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} + \frac{1}{R_{3}}\). Damit entfällt ein umstellen. Achte aber darauf, dass die Einzelwiderstände im Nenner stehen. Normalerweise müsstest du diese erst einmal auflösen. Da jedoch alle Variablen im Nenner stehen, kann die Formel aber erst mal so gelassen werden. 

Schritt 4: Rechne die gegeben Werte in die richtigen Einheiten um

Schauen wir uns als Nächstes die Einheiten in der Formel genauer an. 

Die Einheit des Gesamtwiderstands ist Ω. Schauen wir uns mal die Einheiten der Teilwiderstände an: 

\(R_1 = 180 \,\Omega\)

\(R_2 = 90 \,\Omega\)

\(R_3 = 300 \,\Omega\)

Wie wir sehen können, werden alle Teilwiderstände in \(\Omega\) angegeben. Und da unsere Formel aussagt, dass wir die einzelnen Teilwiderstände addieren sollen, ändert sich auch nichts an der Einheit. Es kann natürlich auch vorkommen, dass sich die Aufgabe schwieriger gestaltet und ein Widerstand in \(\frac{V}{A}\) angegeben wird. Da musst du dich dann nur daran erinnern, dass \(\Omega=\frac{V}{A}\) ist und beliebig umgerechnet werden kann.

Schritt 5: Setze die Werte ein und rechne sie aus

Jetzt ist alles vorbereitet, um die Werte in unsere Formel einzusetzen.

\(\frac{1}{R_{ges}}= \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} + \frac{1}{R_{3}}\)

\(\frac {1}{R_{ges}} = \frac {1}{180 \,\Omega}+\frac {1}{90 \,\Omega}+\frac {1}{300 \,\Omega}\)

Um Brüche mit unterschiedlichem Nenner addieren zu können, ist es wichtig, die Nenner auf das kleinste gemeinsame Vielfache zu bringen. In unserem Fall ist dies 900. Solltest du Probleme damit haben, den Hauptnenner zu finden, dann lies doch noch mal hier nach.

\(\frac {1}{R_{ges}} = \frac {5}{900 \,\Omega}+\frac {10}{900 \,\Omega}+\frac {3}{900 \,\Omega}\)

Im nächsten Schritt können wir die einzelnen Brüche zusammenaddieren und erhalten:

\(\frac {1}{R_{ges}} = \frac {18}{900 \,\Omega}\)

Als nächstes kürzen wir unser Ergebnis, um es übersichtlicher darstellen zu können. Dabei erhalten wir:

\(\frac {1}{R_{ges}} = \frac {1}{50 \,\Omega}\)

Jetzt noch aufpassen, die gesuchte Variable ist ja im Nenner, da auf der andern Seite der Gleichung auch einfach nur ein Bruch steht, kannst du einfach auf beiden Seiten den Kehrbruch bilden und hast das Ergebnis.

\(R_{ges} = 50 \,\Omega\)

Der Gesamtwiderstand beträgt 50 Ω.

Teilaufgabe b

Berechne die Gesamtstromstärke sowie die Teilstromstärken und Teilspannungen an den einzelnen Widerständen.

Schritt 1: Stelle fest, was gegeben und gesucht ist

Beginnen wir wieder mit der Frage, was gegeben und gesucht ist.

Gegeben: Gesucht:

\(R_1 = 180\,\Omega\)

\(R_2 = 90 \,\Omega\)

\(R_3 = 300 \,\Omega\)

\(U_{ges}=18\,\text V\)

\(R_{ges}=50 \,\Omega\)

\(I_{ges}\)

\(I_1,\, I_2, \,I_3\)

\(U_1,\,U_2,\,U_3\)

Gegeben hast du alle Werte und Ergebnisse aus der Aufgabenstellung und dem ersten Abschnitt. Gesucht werden in dieser Teilaufgabe die Gesamtstromstärke, die Teilstromstärken und die Teilspannungen.

Wie du den Widerstand in einer Parallelschaltung ausrechnest - Abbildung 2

 

Schritt 2: Finde die richtige Formel

Mit Widerstand, Spannung und Stromstärke haben wir einen guten Hinweis. Alle Variablen kommen auch im ohmschen Gesetz vor:

 \(R_{ges}= \frac{U_{ges}}{I_{ges}}\) 

Da es sich zudem um eine Parallelschaltung handelt, brauchen wir noch die Formeln für \(U_{ges}\) und \(I_{ges}\).

\(U_{ges}=U_1=U_2=U_3\)

\(I_{ges}=I_1+I_2+I_3\)

Schritt 3: Stelle die Formel nach dem Gesuchten um

Die Formeln für die Gesamtspannung und die Gesamtstromstärke müssen nicht umgestellt werden. Dies liegt daran, dass die Spannung an jedem Punkt unserer Schaltung gleich ist und die Stromstärke die Summe ihrer Teilstromstärken ist.

Anders sieht es jedoch bei der Formel zum ohmschen Gesetz aus. Unsere Formel \(R_{ges}= \frac{U_{ges}}{I_{ges}}\) gibt an, wie man den Gesamtwiderstand aus der Gesamtspannung und Stromstärke berechnet. Du kannst sie aber mithilfe eines Formeldreiecks nach der Gesamtstromstärke umstellen und erhältst:

\(\Huge\frac{U}{R \cdot I}\)\(\Huge \rightarrow\)\(\Huge\frac{U}{R \cdot \color{white} I}\)

\(I=\frac {U}{R}\)

Schritt 4: Rechne die gegeben Werte in die richtige Einheit um

In diesem Schritt geht es darum, dass du dir die Einheiten anschaust und sie wenn nötig angleichst. Die Spannung U wird dabei in Volt und die Stromstärke I in Ampere angegeben.

Bei beiden Formeln zur Gesamtspannung und Gesamtstromstärke brauchst du keine Anpassung der Einheiten vornehmen. Wie schon in Aufgabenteil a bleiben die Einheiten bei einer Addition gleich. 

Wichtig ist es aber, zu wissen, dass \(\Omega\) auch in \(\frac{V}{A}\)dargestellt werden kann.

Schritt 5: Setze die Werte in die Formel ein und rechne sie aus

Nachdem du nun geklärt hast, was mit den Einheiten geschieht, kannst du die Werte in die Variablen einsetzen.

Beginnen wir mit der Gesamtspannung:

\(U_{ges}=U_1=U_2=U_3\)

\(18\,\text V=18\,\text V=18\,\text V=18\,\text V\)

Es zeigt sich, dass die Spannung an jedem Widerstand in unserem Stromkreis gleich ist.

Anders sieht es bei der Stromstärke aus. Bevor du jedoch die Gesamtstromstärke ausrechnen kannst, müssen wir mithilfe unserer umgestellten ohmschen Formel die Einzelstromstärken berechnen. Da wir zuvor herausgefunden haben, dass die Spannung an jedem Punkt gleich ist, muss diese nur durch den jeweiligen Widerstand geteilt werden. Daraus ergibt sich:

\(I_1=\frac{U_1}{R_1}\)

\(I_1=\frac {18\,\text V}{180\,\Omega}\)

\(I_1=0,1\,\text A\)

\(I_2=\frac{U_2}{R_2}\)

\(I_2=\frac {18\,\text V}{90\,\Omega}\)

\(I_2=0,2\,\text A\)

\(I_3=\frac{U_3}{R_3}\)

\(I_3=\frac {18\,\text V}{300\,\Omega}\)

\(I_3=0,06\,\text A\)

Im letzten Schritt können wir nun die ermittelten Einzelstromstärken aufaddieren und erhalten

\(I_{ges}=I_1+I_2+I_3\)

\(I_{ges}=0,36\,\text A\)

als Ergebnis.

Antwortsatz: Die Gesamtstromstärke beträgt \(0,36 \,\text A\) und die Gesamtspannung \(18\,\text V\).

 

Lösung

  1. Der Gesamtwiderstand beträgt \(R_{ges}=\,50\, \Omega\).
  2. Die Gesamtstromstärke beträgt \(I_{ges}= 0{,}36\,\text A\) und die Gesamtspannung \(U_{ges}=18\,\text V\).
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