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Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wie du mit der Formel für Induktion rechnest

Aufgabe

Elektromagnetische Induktion wird bei der Sicherung von Ware in Einkaufszentren benutzt. Hier sollst du ein vereinfachtes Alternativmodell dazu betrachten, bei dem der Alarm direkt an der Ware angebracht ist. Im Regelfall befindet sich der Alarm an der Schranke und an der Ware ist nur ein Leiter. Das bringt verschiedene technische Vorteile und wird daher meistens statt des hier vorgestellten Systems verwendet. Das hier verwendete Modell ist aber einfacher zu verstehen und daher für den Einstieg in das Thema besser geeignet.

Die Anlage erzeugt ein homogenes Magnetfeld von \(1 \ \frac{\text{V}\; \cdot\; \text{s}}{\text{m}^2}\). An der gesicherten Ware ist ein Alarm installiert und als Energiequelle dient ein \(10 \ \text{cm}\) langer Leiter, der beim Durchlaufen der Anlage senkrecht zum Magnetfeld steht. Wenn jetzt eine Person mit der gesicherten Ware mit \(5 \ \frac{\text{km}}{\text{h}}\) durch die Anlage läuft, wird eine Spannung induziert, die den Alarm dann betreibt.

Wie groß ist die induzierte Spannung?

Schritt 1: Finde, was gegeben und gesucht ist

Als Erstes musst du dir genau überlegen, was gegeben ist und was gesucht wird.

Gegeben ist hier:

  • die Größe des Magnetfeldes: \(B = 1 \ \frac{\text{V}\, \cdot\, \text{s}}{\text{m}^2}\)
  • die Länge des Leiters: \(l = 10 \ \text{cm}\)
  • die Geschwindigkeit der Person bzw. der Ware: \(v = 5 \ \frac{\text{km}}{\text{h}}\)

Und gesucht wird:

  • die Induktionsspannung U

Schritt 2: Finde die richtige Formel

Es wird eine Induktionsspannung gesucht und somit ist klar, dass du die Formel für die Induktionsspannung verwenden musst. Du hast auch ein homogenes Magnetfeld, das sich nicht ändert. Also kann die Induktion nur durch die Änderung der Fläche erfolgen und du brauchst diese Formel:

\(U = - B \cdot \frac{\Delta A}{\Delta t}\)

Wenn du mehr zu der elektromagnetischen Induktion wissen möchtest, kannst du dich hier informieren.

Schritt 3: Stelle die Formel nach dem Gesuchten um

Du willst die Induktionsspannung \(U\) berechnen und daher muss die Formel an sich nicht weiter umgestellt werden:

\(\color{red}{U} = - B \cdot \frac{\Delta A}{\Delta t}\)

Jedoch haben wir weder Fläche noch Zeit gegeben. Wie kann nun mit \(\color{red}{\frac{\Delta A}{\Delta t}}\) weitergerechnet werden?

Aus der Aufgabenstellung hast du eine Geschwindigkeit \(v\) gegeben. Geschwindigkeit ist nichts anderes als \(v = \frac{\Delta s}{\Delta \color{red} t}\), also Weg geteilt durch Zeit.

Bleibt noch die Frage nach der Fläche \(\color{red} A\). Diese kannst du aus dem Stab und dem Weg berechnen. Der Stab steht senkrecht zum Weg und beide bilden zusammen ein Rechteck. Dieses Rechteck ist die gesuchte Fläche \(\color{red} A\).

Damit hast du die fehlende Fläche und die Zeit. Wenn du jetzt die Geschwindigkeit mit der Länge des Leiters multiplizierst, hast du:

\(v \cdot l = \frac{\Delta s}{\Delta t} \cdot l = \frac{\Delta A}{\Delta t}\)

Dies kannst du in die Fomel für die Induktionsspannung \(\frac{\Delta A}{\Delta t} = v \cdot l\) einsetzen und erhältst:

\(U = - B \cdot v \cdot l\)

Schritt 4: Rechne die gegebenen Werte in die richtigen Einheiten um

Nun musst du noch die gegebenen Werte für das magnetische Feld, die Länge des Leiters und die Geschwindigkeit in zueinander passende Einheiten umrechnen.

Schau dir zunächst das Magnetfeld an, für dieses hast du \(B = 1 \ \frac{\text{V}\, \cdot\, \text{s}}{\text{m}^2}\). Hier ist schon die Einheit \(\text{V}\) enthalten, die wir für die Spannung erwarten. Also wäre es sinnvoll, sie so stehen zu lassen und die anderen Größen hierzu passend umzurechnen, also in \(\text{s}\) und \(\text{m}\).

Du musst also die 10 cm in Meter umrechnen.

\(l = 10 \ \text{cm} = \frac{10}{100} \ \text{m} = 0{,}1 \, \text{m}\)

Als Letztes musst du noch die Geschwindigkeit umrechnen. Um von \(\frac{\text{km}}{\text{h}}\) in \(\frac{\text{m}}{\text{s}}\) umzurechnen, musst du durch \(3{,}6\) teilen.

\(v = 5 \ \frac{\text{km}}{\text{h}} = \frac{5}{3{,}6} \ \frac{\text{m}}{\text{s}} \approx 1{,}4 \ \frac{\text{m}}{\text{s}}\)

Schritt 5: Setze die Werte in die Formel ein und rechne sie aus

Jetzt musst du noch die Werte in die Formel einsetzen, um dein Ergebnis zu erhalten.

\(U = - B \cdot v \cdot l = - 1 \ \frac{\text{V} \ \cdot \ \text{s}}{\text{m}^2} \cdot 1{,}4 \ \frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 0{,}1 \ \text{m}\)

Wenn du zunächst nur die Werte miteinander multiplizierst, hast du:

\(U = - 0,14 \ \frac{\text{V}\, \cdot\, \text{s}}{\text{m}^2} \cdot \frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot \text{m}\)

Und bei den Einheiten kürzen sich die beiden \(\text{m}\) mit dem \(\text{m}^{2}\) im Nenner sowie \(\text{s}\) in Zähler und Nenner.

​​\(U = - 0{,}14 \ \frac{\text{V} \ \cdot \ \not{\text{s}}}{\not{\text{m}^2}} \cdot \frac{\not{\text{m}}}{\not{\text{s}}} \cdot \not{\text{m}} = -0{,}14 \ \text{V}\)

Zuletzt musst du noch bedenken, dass das Vorzeichen bei der Spannung davon abhängt, in welche Richtung du misst. Da hier die Richtung aber nicht von Bedeutung ist, kannst du auch \(U = 0{,}14 \ \text{V}\) schreiben.

Es wird also eine Spannung von \(U = 0{,}14 \ \text{V}\) induziert.

Lösung

Beim Durchlaufen der Anlage mit der gesicherten Ware wird eine Spannung von \(U = 0{,}14 \ \text{V}\) induziert.

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