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Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wie du entscheidest, ob eine Lampe leuchtet oder nicht

Aufgabe

Sieh dir diese Schaltungen an. Die Spannungsquelle liefert eine konstante Spannung, die aber unbekannt ist.

  1. Sage für die folgenden Schalterstellungen, welche Lampen brennen; und falls beide brennen, ob eine davon heller ist (ohne Rechnung!):
  1.  Welche Lampen leuchten, wenn nur Schalter 2 geschlossen ist?
  2.  Welche Lampen leuchten, wenn nur Schalter 1 geschlossen ist?
  3.  Welche Lampen leuchten, wenn Schalter 1 und Schalter 2 geschlossen sind?
  4.  Welche Lampen leuchten, wenn alle Schalter geschlossen sind?

b. Löse folgende Aufgaben für die zweite Schaltung:

  1. Ordne die 3 Lampen danach, wie hell sie leuchten.
  2. Was ändert sich, wenn Lampe 3 durchbrennt?

Teilaufgabe a)

Sage für die folgenden Schalterstellungen, welche Lampen brennen; und falls beide brennen, ob eine davon heller ist (ohne Rechnung!).

Schritt 1: Finde, was gegeben und was gesucht ist

Gegeben:

In dieser Aufgabe musst du nichts rechnen, sondern sollst nur verstehen, welchen Weg der Strom fließt. Bei der Schaltung handelt es sich um eine gemischte Schaltung aus Parallel- und Reihenschaltung. Folgendes ist bekannt:

  • Es gibt Schalter, die Stromkreise schließen können.
  • Die Drähte, in denen die Schalter verbaut sind, haben alle einen sehr kleinen Widerstand von \(R_\mathrm{Draht} = 1~\Omega\).
  • Es gibt Glühlampen, die leuchten, wenn sie vom Strom durchflossen werden. Jede Lampe hat einen inneren Widerstand von \(R_\mathrm{Lampe} = 500~\Omega\).

Gesucht:

Du sollst abschätzen, wie hell die Lampen leuchten.

Schritt 2: Finde die richtige Formel

Du musst zwar nichts rechnen, aber du musst dir trotzdem überlegen, woran du die Helligkeit festmachst. Die Größe, die die Helligkeit bestimmt, ist die elektrische Leistung P.  Zur Erinnerung, die Leistung der Lampe ist:

\(P_\mathrm{Lampe} = U_\mathrm{Lampe} \cdot I_\mathrm{Lampe}\)

Das bedeutet: Die Lampe leuchtet heller, je größer die Spannung ULampe ist und je größer der Stromfluss ILampe über die Lampe ist. Es hilft natürlich immer, auch das ohmsche Gesetz im Hinterkopf zu haben.

\(R_\mathrm{Lampe} = \frac{U_\mathrm{Lampe}}{I_\mathrm{Lampe}} \Leftrightarrow U_\mathrm{Lampe} = R_\mathrm{Lampe} \cdot I_\mathrm{Lampe}\)

Das ist hier nützlich, weil die Lampen den gleichen Widerstand \(R_\mathrm{Lampe} = 500~\Omega\) haben. Da sich dieser Widerstand also nicht verändert, kannst du am ohmschen Gesetz ablesen, dass wenn die Spannung ULampe kleiner wird, dann auch ILampe kleiner wird. Wenn du sagen willst, welche Lampe heller leuchtet, brauchst du dir also nicht zu überlegen, ob sich Spannung und Strom ändern. Es reicht, wenn du es dir für eins überlegst, denn wenn eines von beiden kleiner wird, dann wird die Lampe dunkler, und wenn eines von beiden größer wird, dann wird die Lampe heller. Ist das ohmsche Gesetz nicht super?

Schritt 3: Löse die Aufgaben

1. Welche Lampen leuchten, wenn nur Schalter 2 geschlossen ist?

Zuerst sollst du sagen, was geschieht, wenn Schalter 2 geschlossen ist.

Wenn Schalter 2 geschlossen ist, kann der Strom den roten Pfad entlangfließen. Dabei durchquert er Lampe 2 und bringt sie zum Leuchten. Und weil das der einzige Weg ist, der vom Minuspol zum Pluspol führt, ist es auch die einzige Lampe, die leuchtet.

2. Welche Lampen leuchten, wenn nur Schalter 1 geschlossen ist?

Nun wird Schalter 2 wieder geöffnet und stattdessen Schalter 1 geschlossen. Was geschieht?

Nun fließt der Strom diesen Stromkreis entlang. Er fließt über beide Lampen und deswegen werden auch beide leuchten. Aber was ist mit ihrer Helligkeit? Lampe 1 und Lampe 2 sind in Reihe geschaltet und haben beide den gleichen Widerstand. In einer Reihenschaltung ist der Strom I konstant, deswegen fließt der gleiche Strom über die Lampen. Und weil beide den gleichen Widerstand \(R_\mathrm{Lampe} = 500~\Omega\) haben, fällt auch die gleiche Spannung über sie ab. Wenn also ILampe und ULampe bei beiden gleich sind, dann ist auch \(P_\mathrm{Lampe} = U_\mathrm{Lampe} \cdot I_\mathrm{Lampe}\) gleich. Das heißt, dass beide Lampen gleich hell sind.

Aber: Sind sie heller oder dunkler als die Lampe 2 in Aufgabe 1? Du ahnst es sicher: Sie sind dunkler! Das kommt daher, dass die Quellenspannung ja konstant ist, aber sich diesmal auf 2 Lampen aufteilen muss. Deswegen ist ULampe diesmal nur halb so groß wie vorher. Und dank der Überlegungen zum ohmschen Gesetz heißt das, dass auch der Strom ILampe nur halb so groß ist und die Lampe deswegen dunkler.

3. Welche Lampen leuchten, wenn Schalter 1 und Schalter 2 geschlossen sind?

Jetzt sollen beide Schalter geschlossen werden. Welche Lampen leuchten dann? Intuitiv magst du vielleicht glauben, dass dann auch beide Lampen leuchten. Aber in Wirklichkeit sieht es so aus:

Nur Lampe 2 leuchtet. Es macht sogar praktisch keinen Unterschied, ob Schalter 1 geschlossen ist oder nicht. Aber wieso? Diese Situation ist genau das, was man einen Kurzschluss nennt: Draht 2 schließt Lampe 1 kurz. Wenn beide Schalter geschlossen sind, liegt eine Parallelschaltung vor. Das kannst du im rechten Bild besser erkennen: Da habe ich einfach die Länge und Form der Verbinder etwas verändert, damit man die Parallelschaltung leichter sehen kann. Denn Form und Länge der Verbinder ändern ja nichts am Stromkreis, deswegen kann man sie ohne Probleme verändern.

Der Strom kann sich aufzweigen, und zwar an Punkt A. Der Strom geht den Weg des geringsten Widerstandes nach Punkt B, und das ist natürlich der über Schalter 2. Das kannst du dir recht leicht klarmachen, wenn du die beiden Wege im rechten Bild vergleichst: Der Strom will von Punkt A zu Punkt B kommen. Über Schalter 2 muss der Strom nur einen Widerstand von \(R_\mathrm{Draht2} = 1~\Omega\) überwinden. Das ist sehr wenig. Aber wenn er stattdessen über Schalter 1 fließt, dann muss er einen Widerstand von \(R_\mathrm{Draht1} + R_\mathrm{Lampe1} = 501~\Omega\) überwinden. Der Widerstand ist also ungefähr 500-mal höher über Lampe 1, deswegen wird der Strom, der über Lampe 1 fließt, auch 500-mal kleiner als der über \(R_\mathrm{Draht2}\). Und so ein winziger Strom wird die Lampe kaum zum Leuchten bringen. Also: Genau genommen fließt über Lampe 1 zwar auch ein Strom. Der ist aber so winzig klein, dass sie nicht leuchten wird. Stattdessen leuchtet Lampe 2 genauso hell wie in Aufgabenteil 1.

4. Welche Lampen leuchten, wenn alle Schalter geschlossen sind?

Und wenn du jetzt noch zusätzlich Schalter 3 schließt? Na, dann passiert praktisch das Gleiche wie vorher.

Beide Lampen erlöschen, denn sie werden beide durch Draht 3 kurzgeschlossen. Denn nun kann der Strom ja sogar noch die \(500~\Omega\) von Lampe 2 überspringen, indem er einfach nur den Widerstand \(R_\mathrm{Draht3} = 1~\Omega\) überquert, und das wird er natürlich mit Begeisterung tun. Der restliche Strom, der noch über Lampe 1 und Lampe 2 fließt, ist dann wieder vernachlässigbar winzig.

Teilaufgabe b)

Löse folgende Aufgaben für die zweite Schaltung.

Schritt 1: Finde, was gegeben und was gesucht ist

Gegeben:

Nun zum zweiten Stromkreis. Hier gibt es keine Schalter, einfach nur 3 Lampen in der einfachsten gemischten Schaltung, die es gibt. Jede hat einen Innenwiderstand von \(500~\Omega\).

Gesucht:

 Du sollst dir wieder überlegen, wie hell jede Lampe leuchtet.

Schritt 2: Finde die richtige Formel

Hier hat sich nichts getan seit letztem Mal. Wieder musst du jeweils die Leistungen \(P_\mathrm{Lampe} = U_\mathrm{Lampe} \cdot I_\mathrm{Lampe}\) der Lampen vergleichen.

Schritt 3: Löse die Aufgaben

 1. Ordne die 3 Lampen danach, wie hell sie leuchten.

Lampe 1 leuchtet am hellsten, Lampe 2 und Lampe 3 leuchten gleich hell.

Aber wieso? Der Strom, der aus der Quelle fließt, muss vollständig über Lampe 1 fließen. Wenn er dann bei der Parallelschaltung ankommt, dann muss er sich zwischen Lampe 2 und Lampe 3 aufteilen. Weil beide den gleichen Widerstand haben, wird er sich jeweils halb und halb aufzweigen. Damit leuchten Lampe 1 und Lampe 2 gleich hell, aber nicht so hell wie Lampe 1.

2. Was ändert sich, wenn Lampe 3 durchbrennt?

Wenn Lampe 3 durchbrennt, dann wird ein Zweig der Parallelschaltung unterbrochen.

Dann fließt der gleiche Strom, der über Lampe 1 fließt, auch über Lampe 2 und beide sind gleich hell. Und natürlich erlischt Lampe 3.

Aber Vorsicht! Beide Lampen sind dafür etwas dunkler, als Lampe 1 vorher war. Das zu bemerken ist wirklich etwas für Profis. Wie mag das kommen?

Der Grund ist, dass der Widerstand von Parallelschaltungen immer kleiner ist als seine Einzelwiderstände. Wenn also Lampe 3 durchbrennt, dann ändert sich der Widerstand der Parallelschaltung. Um dir das zu zeigen, muss ich doch kurz etwas rechnen. Der Gesamtwiderstand einer Parallelschaltung lautet ja:

\(\frac{1}{R_\mathrm{para~ges}} = \frac{1}{R_\mathrm{para~1}} + \frac{1}{R_\mathrm{para~2}}\)

Wenn man für Rpara 1 und Rpara 2 dann RLampe einsetzt, erhält man:

\(\frac{1}{R_\mathrm{para~ges}} = \frac{1}{R_\mathrm{Lampe}} + \frac{1}{R_\mathrm{Lampe}} = \frac{2}{R_\mathrm{Lampe}} \)

Und der Kehrwert auf beiden Seiten liefert den Gesamtwiderstand:

\(R_\mathrm{para~ges} = \frac{R_\mathrm{Lampe}}{2}\)

Der Ersatzwiderstand der Parallelschaltung ist also nur die Hälfte von RLampe! Den Gesamtwiderstand der ganzen Schaltung erhält man also, wenn man nun da noch den Widerstand von Lampe 1 hinzuzählt:

\(R_\mathrm{ges~vorher} = R_\mathrm{Lampe} + \frac{R_\mathrm{Lampe}}{2} = 1,{5} \cdot R_\mathrm{Lampe} = 1{,}5 \cdot 500~\Omega = 750~\Omega\)

Das ist der Gesamtwiderstand, bevor Lampe 3 durchbrennt. Danach ist der Gesamtwiderstand ganz leicht zu berechnen: Es gibt ja keine Parallelschaltung mehr, stattdessen bleibt nur noch ganz einfach das RLampe von Lampe 2 stehen. Zusammen mit Lampe 1 wird das:

\(R_\mathrm{ges~nachher} = R_\mathrm{Lampe} + R_\mathrm{Lampe} = 2 \cdot R_\mathrm{Lampe} = 2 \cdot 500~\Omega = 1000~\Omega\)

Der Gesamtwiderstand wird also größer durch das Durchbrennen der Lampe. Und weil ja die Quellenspannung immer gleich bleiben soll, muss dadurch der Strom, der in den Stromkreis geschickt wird, kleiner werden. Das sieht man mit dem ohmschen Gesetz:

\(I_\mathrm{ges~vorher} = \frac{U_\mathrm{ges}}{R_\mathrm{ges~vorher}}= \frac{U_\mathrm{ges}}{750~\Omega}\)

\(I_\mathrm{ges~nachher} = \frac{U_\mathrm{ges}}{R_\mathrm{ges~nachher}}= \frac{U_\mathrm{ges}}{1000~\Omega}\)

Und wenn der Strom nachher kleiner ist als vorher, dann leuchten nachher natürlich auch die Lampen weniger hell!

Lösung

a.

  1. Wenn Schalter 2 geschlossen ist, dann leuchtet nur Lampe 2.
  2. Wenn Schalter 1 geschlossen ist, leuchten Lampen 1 und 2 gleich hell. Sie sind aber dunkler als Lampe 2 in der vorigen Aufgabe.
  3. Wenn Schalter 1 und 2 geschlossen sind, leuchtet nur Lampe 2, und zwar genauso hell wie in Aufgabenteil 1.
  4. Wenn alle Schalter geschlossen sind, dann leuchtet gar keine Lampe.

b.

  1. Am hellsten leuchtet Lampe 1. Lampe 2 und Lampe 3 sind gleich hell.
  2. Wenn Lampe 3 durchbrennt, dann sind Lampe 1 und Lampe 2 gleich hell. Sie sind aber dunkler als Lampe 1 in der vorigen Aufgabe.
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