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Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wie du eine Mischtemperatur ausrechnest

Aufgabe

In einen kleinen Eimer mit 1 l Wasser der Temperatur 20 °C wird ein Eisenstück der Masse 200 g und der Temperatur 100 °C geworfen. Welche Mischtemperatur stellt sich ein?

\(c_{_{Eisen}}= \,0{,}45\; \frac{\text{J}}{\text{g}\,\cdot\, \text{K}}\)

Schritt 1: Stell fest, was gegeben und was gesucht ist

Lies dir die Aufgabe aufmerksam durch und schreibe dir raus, was gegeben und was gesucht ist.

Hier sind folgende Größen gegeben:
Volumen kalt: 1 l
Stoff kalt: Wasser
Temperatur kalt: 20 °C
Stoff heiß: Eisen
Masse heiß: 200 g
Temperatur heiß: 100 °C

Und gesucht wird:
Mischtemperatur: ?

Schritt 2: Finde die richtige Formel

Das ist fast der wichtigste Schritt. Du musst herausfinden, welche Formel du benutzen musst, um das Gesuchte zu finden. Überleg dir mal in allgemeinen Worten, worum es in der Aufgabe geht. Da gibt es eine Eisenkugel, die eine bestimmte Temperatur und eine bestimmte Masse hat. Diese Kugel wird in ein bestimmtes Volumen Wasser mit einer bestimmten kälteren Temperatur gelegt. Du sollst jetzt die Mischtemperatur ausrechnen, die sowohl Eisen als auch Wasser haben. Das Ganze hat also mit Wärme zu tun und gehört damit in die Wärmelehre. Zwei unterschiedlich warme Stoffe sind beteiligt, es gibt also einen Wärmeaustausch.

Bei einem Wärmeaustausch benutzt du folgende Formel:

\(c_{1}\,\cdot\, m_{1}\, \cdot \,(\vartheta_{m}\,-\,\vartheta_{1})\, =\,c_{2}\,\cdot\, m_{2}\, \cdot\, (\vartheta_{2}\,-\,\vartheta_{m}) \)

\(c\) = spezifische Wärmekapazität
\(m\) = Masse
\(\vartheta\) = Temperatur

In der Formel ist \(c\) die spezifische Wärmekapazität, \(m\) ist die Masse und das kleine Theta\(\vartheta\), steht für die Temperatur. Dabei steht \(\vartheta_m\) für die Mischtemperatur, alles mit der tiefgestellten 1 für den kälteren Körper und alles mit der tiefgestellten 2 für den wärmeren Körper.

Mischtemperatur = \(\vartheta_m\)
kälterer Körper = \(c_1,\;m_1, \;\vartheta_1\)
wärmerer Körper = \(c_2,\;m_2, \;\vartheta_2\) 

Schritt 3: Stell die Formel nach dem Gesuchten um

Nun musst du die Formel nach dem Gesuchten umstellen. Im Prinzip funktioniert das, wie wenn du eine Gleichung nach einer Unbekannten auflöst, nur dass die Unbekannte die gesuchte Größe ist. Wie das geht, kannst du dir hier anschauen.

In unserem Fall ist die gesuchte Größe, wie du in Schritt 1 festgestellt hast, die Mischtemperatur, also \(\vartheta_m\).

\({c_{1}\,\cdot\, m_{1} \,\cdot\, (\color{red} \vartheta_{\color{red} m}\,-\,\vartheta_{1}) \,=\,c_{2}\,\cdot\, m_{2}\, \cdot \,(\vartheta_{2}\,-\,\color{red}\vartheta_{\color{red} m}) }\)

Ungewöhnlich ist, dass die gesuchte Mischtemperatur auf beiden Seiten der Gleichung in Klammern steht. Dafür gibt es aber eine leichte Lösung. Einfach ganz ruhig die normalen Matheregeln anwenden und du kriegst das hin.

Erst mal musst du die Klammern auflösen.

\(\,c_{1}\,\cdot\, m_{1}\, \cdot \,\color{red}\vartheta_{\color{red} m}\,-\, {c_{1}\,\cdot\, m_{1} \,\cdot \,\vartheta_{1}\, =\,c_{2}\,\cdot\, m_{2}\, \cdot \,\vartheta_{2}\,-\,c_{2}\,\cdot\, m_{2}\, \cdot \,\color{red}\vartheta_{\color{red} m} }\)

Dann musst du alles, was das Gesuchte in einem Produkt hat, auf eine Seite bringen. 

\(c_{1}\,\cdot\, m_{1}\, \cdot \,\color{red}\vartheta_{\color{red}m}\,+\,c_{2}\,\cdot\, m_{2} \,\cdot \,\color{red}\vartheta_{\color{red} m} \,=\, c_{2}\,\cdot\, m_{2}\, \cdot \,\vartheta_{2}\,+\,c_{1}\,\cdot \,m_{1} \,\cdot\, \vartheta_{1}\)

Jetzt musst du das Gesuchte ausklammern und durch Teilen durch den Faktor allein auf eine Seite stellen.

\(\color{red}\vartheta_{\color{red} m}\, \cdot\, ( c_{1}\,\cdot\, m_{1}\, +\,c_{2}\,\cdot \,m_{2}) \,=\, c_{2}\,\cdot\, m_{2}\, \cdot\, \vartheta_{2}\,+\,c_{1}\,\cdot\, m_{1}\, \cdot \,\vartheta_{1}\)

\(\color{red}\vartheta_{\color{red} m} =\, \frac{c_{2}\,\cdot \,m_{2}\, \cdot\, \vartheta_{2}\;+\;c_{1}\,\cdot\, m_{1} {\,\cdot\, \vartheta_{1}} }{ c_{1}\,\cdot \,m_{1}\; +\;c_{2}\,\cdot\, m_{2}}\)

Wenn du nicht jedes Mal die Gleichung nach der Mischtemperatur auflösen willst, kannst du dir auch einfach diese Formel merken. 

Schritt 4: Rechne die gegebenen Werte in die richtige Einheit um

Überprüfe, ob auch alle gegebenen Werte in die Formel passen. Rechne gleich alle Werte in die gleichen Einheiten um, denn gleiche Einheiten machen alles leichter und somit richtiger.

c1 und c2 sind die spezifischen Wärmekapazitäten der Stoffe 1 und 2. In dieser Aufgabe ist der kältere Stoff – also Stoff 1 – Wasser. In den meisten Fällen musst du die spezifische Wärmekapazität von Wasser auswendig wissen oder sie wird angegeben.

\(c_1 = \,4{,}2 \; \frac{\text{J}}{\text{g}\,\cdot\;\text{K}}\)

Stoff 2, also der heiße Stoff, ist Eisen und dessen spezifische Wärmekapazität ist gegeben.

\(c_2 = \,0{,}45 \; \frac{\text{J}}{\text{g}\,\cdot\;\text{K}}\)

m1 und m2 sind die Massen des kalten bzw. warmen Stoffes. m1, also die Masse des Wassers, ist aber über das Volumen gegeben: Du musst Liter in Gramm umrechnen. Gramm, weil die spezifische Wärmekapazität auch Gramm benutzt. Dazu braucht man die Dichte von Wasser. 1 Liter Wasser sind ja 1 Kilogramm, also 1000 Gramm. Folglich ist die Dichte von Wasser \(\rho_{_{H_20}}=\, 1000\;\frac{\text{g}}{\text{l}}\).Damit kannst du die Masse ausrechnen, indem du das Volumen mal die Dichte nimmst.

\(m_1 = \,V_{_{H_20}} \,\cdot \;\rho_{_{H_20}}= \,1\;\text{l} \,\cdot \;1000\;\frac{\text{g}}{\text{l}}= \,1000\;\text{g}\)

m2 ist die Masse des Eisens und die ist gegeben.

\( m_2 = \,200\;\text{g}\)

Jetzt fehlen nur noch die Temperaturen. Wenn du auf die spezifische Wärmekapazität schaust, merkst du zwar, dass dort als Einheit für die Temperatur Kelvin steht, aber in diesem Fall kann man da auch einfach Grad Celsius verwenden. Warum das so ist, kannst du dir in einem Video zur Kelvinskala anschauen. Theta 1 ist die Temperatur des kalten Stoffes, also des Wassers. 

\(\vartheta_1=\, 20\,^{\circ}\mathrm{C}\)

Theta 2 ist die Temperatur des warmen Stoffes, also des Eisens.

\(\vartheta_2=\,100\,^{\circ}\mathrm{C}\)

Schritt 5: Setze die Werte in die Formel ein und rechne sie aus

Wenn du die Werte aus Schritt 4 in die Formel einsetzt, kommt folgende Rechnung raus:

\(\large\vartheta_m = \,\frac{c_{2}\;\cdot\; m_{2}\; \cdot \;\vartheta_{2}\;+\;c_{1}\;\cdot \;m_{1} {\;\cdot \;\vartheta_{1}} }{ c_{1}\;\cdot \;m_{1}\; +\;c_{2}\;\cdot\; m_{2}}= \,\frac{0{,}45\;\frac{\text{J}}{\text{g}\, \cdot \;\text{K}}\,\cdot \;200\;\text{g}\; \cdot \;100 \,^{\circ}\mathrm{C}\;+\;4{,}2\;\frac{\text{J}}{\text{g}\,\cdot \;\text{K}}\,\cdot \; 1000\;\text{g}\;\cdot \;20\,^{\circ}\mathrm{C}}{\;4{,}2\;\frac{\text{J}}{\text{g}\,\cdot\;\text{K}}\;\cdot \; 1000\;\text{g}\; +\;0{,}45\;\frac{\text{J}}{\text{g}\,\cdot\;\text{K}}\,\cdot\;200\;\text{g}}\)

So einen riesigen Bruch rechnest du am besten aus, indem du ihn zuerst vereinfachst. Dabei musst du aber auch aufpassen, denn aus Differenzen und Summen kürzen nur die mathematisch Ungeübten. Zuerst musst du die Produkte auflösen und dann kommt das Addieren. Hier schauen wir uns zuerst ein leichteres Produkt an, und zwar eins, das unter dem Bruchstrich steht:

\(4{,}2\;\frac{\text{J}}{\text{g}\;\cdot\;\text{K}}\,\cdot \; 1000\;\text{g}\)

Da es ein Produkt ist, können wir es nach Zahlen und Einheiten auftrennen.

\(4{,}2\;\cdot\;1000\;\cdot\;\frac{\text{J}}{\text{g}\;\cdot\;\text{K}}\,\cdot\;\text{g}\;=\;4{,}2\;\cdot\;1000\;\cdot\;\frac{\text{J}\,\cdot\;\text{g}}{\text{g}\,\cdot\;\text{K}}\)

4,2 mal 1000 ist ja ganz leicht und \(\text{g}\) kann man gegeneinander kürzen.

\(4{,}2\;\cdot\;1000\;\cdot\;\frac{\text{J}\,\cdot\;\color{orange}{\cancel{\text{g}}}}{\color{orange}{\cancel{\text{g}}} \,\cdot \;\text{K}}\;=\;4200\;\frac{\text{J}}{\text{K}}\)

Genauso geht das auch bei dem anderen Produkt im Nenner.

\(0{,}45\;\frac{\text{J}}{\text{g}\,\cdot\;\text{K}}\,\cdot \; 200\;\text{g}=\;90\;\frac{\text{J}}{\text{K}}\)

Ganz ähnlich löst du die Produkte im Zähler, nur dass da bei den Zahlen noch der Wert für Grad hinzukommt und die Einheit Celsius stehen bleibt.

\(0{,}45\;\frac{\text{J}}{\text{g}\, \cdot \;\text{K}}\,\cdot \;200\;\text{g}\; \cdot \;100 \,^{\circ}\mathrm{C}\;= \,0{,}45\;\cdot\;200\;\cdot\;100\;\cdot\;\frac{\text{J}\,\cdot\;\color{orange}{\cancel{\text{g}}}\;\cdot\;^{\circ}\mathrm{C}}{\color{orange} {\cancel{\text{g}}}\, \cdot \;\text{K}}=\,9000\;\frac{\text{J}\,\cdot\;^{\circ}\mathrm{C}}{\text{K}}\)

Bei dem zweiten Produkt geht es genau gleich.

\(4{,}2\;\frac{\text{J}}{\text{g}\, \cdot \;\text{K}}\,\cdot \;1000\;\text{g}\;\cdot \;20 \,^{\circ}\mathrm{C}\;= \,4{,}2\;\cdot\;1000\;\cdot\;20\;\cdot\;\frac{\text{J}\,\cdot\;\color{orange}{\cancel{\text{g}}}\,\cdot\;^{\circ}\mathrm{C}}{\color{orange}{\cancel{\text{g}}}\,\cdot \;\text{K}}=\,84.000\;\frac{\text{J}\,\cdot\;^{\circ}\mathrm{C}}{\text{K}}\)

Jetzt hast du alle Produkte ausgerechnet und kannst sie einsetzen.

\(\large\vartheta_m =\, \frac{9000\;\frac{\text{J}\,\cdot\;^{\circ}\mathrm{C}}{\text{K}}\,+\;84.000\;\frac{\text{J}\,\cdot\;^{\circ}\mathrm{C}}{\text{K}}}{\;4200\;\frac{\text{J}}{\text{K}}\; +\;90\;\frac{\text{J}}{\text{K}}}= \,\frac{93.000\;\frac{\text{J}\,\cdot\;^{\circ}\mathrm{C}}{\text{K}}}{\;4290\;\frac{\text{J}\,\cdot\;^{\circ}\mathrm{C}}{\text{K}}}\)

So, Zähler und Nenner sind ausgerechnet und du kannst den Bruch wieder in Zahlen und Einheiten aufteilen. Bei den Einheiten musst du beachten: Ein Bruchstrich ist wie ein Geteiltzeichen und man teilt durch einen Bruch, indem man mit dem Kehrbruch malnimmt.

\(\large \vartheta_m=\, \frac{93.000}{\;4290}\,\cdot \;\frac{\frac{\text{J}\,\cdot\;^{\circ}\mathrm{C}}{\text{K}}}{\frac{\text{J}}{\text{K}}}=\,21{,}678321\,\cdot \;\frac{\text{J}\,\cdot\;^{\circ}\mathrm{C}}{\text{K}}\,\cdot\;{\frac{\text{J}}{\text{K}}} \)

Zum Schluss kannst du noch runden und die Einheiten kürzen.

\(\vartheta_m=\,21{,}678321\,\cdot \;\frac{\color {orange}{\cancel{\text{J}}}\,\cdot\;^{\circ}\mathrm{C}}{\color {blue}{\cancel{\text{K}}}}\,\cdot\;{\frac{\color {blue}{\cancel{\text{K}}}}{\color {orange}{\cancel{\text{J}}}}} =\, 21{,}68 \; ^{\circ}\mathrm{C}\)

Noch mal kontrollieren: Die Einheit ist richtig mit Grad Clesius und schon ist alles fertig.

Du kannst auch die Formel vom Anfang in deinen Taschenrechner eingeben.  Aber aufpassen, dass die Punkt-vor-Strich-Regel und der Bruchstrich stimmen. Und schau dir auf jeden Fall auch die Einheiten an, ob die alle richtig sind. 

Bei den Einheiten musst du diese Rechnung durchgehen:

\(\Large\vartheta_m =\, \frac{\frac{\text{J}}{\color{red}{\cancel{\text{g}}}\,\cdot \;\text{K}}\cdot\;\color{red}{\cancel{\text{g}}}\; \cdot\,^{\circ}\mathrm{C}\;+\;\frac{\text{J}}{\color{orange}{\cancel{\text{g}}}\,\cdot \;\text{K}}\cdot \;\color{orange}{\cancel{\text{g}}}\;\cdot\,^{\circ}\mathrm{C}}{\frac{\text{J}}{\color{blue}{\cancel{\text{g}}}\,\cdot\,\text{K}}\,\cdot \;\color{blue}{\cancel{\text{g}}}\; +\,\frac{\text{J}}{\color{cyan}{\cancel{\text{g}}}\,\cdot \;\text{K}}\,\cdot\;\color{cyan}{\cancel{\text{g}}}}=\,\frac{\frac{\text{J}}{\text{K}}\;\cdot\,^{\circ}\mathrm{C}\,+\,\frac{\text{J}}{\text{K}}\;\cdot\,^{\circ}\mathrm{C}}{\frac{\text{J}}{\text{K}}\,+\,\frac{\text{J}}{\text{K}}}\,=\,\frac{\frac{\text{J}}{\text{K}}\,\cdot\,^{\circ}\mathrm{C}}{\frac{\text{J}}{\text{K}}} \)

Zuerst kannst du \(\text{g}\) wegkürzen, dann die Einheiten im Nenner und Zähler addieren. Beachte: Beim Addieren und Subtrahieren verändern sich Einheiten nicht. 

\(\large\vartheta_m=\frac{\color{red}{\cancel{\text{J}}}\,\cdot\,^{\circ}\mathrm{C}}{\color{blue}{\cancel{\text{K}}}}\,\cdot\,\frac{\color{blue}{\cancel{\text{K}}}}{\color{red}{\cancel{\text{J}}}}=\,^{\circ}\mathrm{C} \)

Dann musst du daran denken, dass man durch einen Bruch teilt, indem man mit dem Kehrbruch malnimmt. Nun kannst du Joule und Kelvin kürzen. Damit bleibt nur Grad Celsius übrig, was auch die Einheit der Temperatur ist, die du ausrechnen sollst. 

Jetzt fehlt nur noch der Antwortsatz:

Es stellt sich eine Mischtemperatur von 21,68 °C ein.

Lösung:

Es stellt sich eine Mischtemperatur von 21,68 °C ein.

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