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Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wie du die kirchhoffschen Regeln anwendest

Aufgabe

Gegeben ist der unten dargestellte Stromkreis und darin die Spannungen U1 = 3 V, U3 = 5 V und Uges = 12 V; außerdem die Ströme I1 = 0,2 A und I4 = 0,6 A.

  1. Benutze die kirchhoffschen Regeln, um die fehlenden Größen U2 und U4 sowie I2 und I3 zu bestimmen.
  2. Bestimme auch die Widerstände R1R2R3 und R4.

Teilaufgabe a)

Benutze die kirchhoffschen Regeln, um die fehlenden Größen U2 und U4 sowie I2 und I3 zu bestimmen.

Schritt 1: Finde, was gegeben und was gesucht ist

Freundlicherweise sagt die Aufgabenstellung schon ziemlich deutlich, was gegeben und gesucht ist.

Gegeben:

\(\color{green} {\begin{align*} U_1\, &= 3\;\text{V}\\ U_3\, &= 5\;\text{V}\\ U_{ges}\, &= 12\;\text{V}\\ I_1\, &= 0{,}2\;\text{A} \\ I_4\, &= 0{,}6\;\text{A} \end{align*}}\)

Gesucht:

\(\color{red} {\begin{align*} U_2\, &=\,?\\ U_4\, &=\,?\\ I_2\, &=\,?\\ I_3\, &=\,?\end{align*}}\)

Schritt 2: Finde die richtige Formel

Das hier ist der interessanteste Schritt dieser Aufgabe. Im Prinzip könntest du auch die Formeln für Parallel- und Reihenschaltungen benutzen, zusammen mit dem ohmschen Gesetz. Das ist immer eine Alternative zu den kirchhoffschen Regeln. Aber die Aufgabenstellung verlangt ja, dass du die kirchhoffschen Regeln verwenden sollst.

Dazu musst du sicher wissen, welche Richtung jeder Teilstrom hat und welche Richtung die Teilspannungen jeweils haben. Zeichne sie deswegen am besten gleich in den Stromkreis ein.

Sieh dir bitte an, ob dir die Richtungen alle klar sind! Der Strom fließt vom Minuspol zum Pluspol. Deswegen zeigen alle roten Strompfeile vom Minuspol weg. Genauso ist es bei den Spannungspfeilen: Sie zeigen vom Minuspol Richtung Pluspol und deswegen immer entlang dem Strom. Aufpassen musst du nur bei der Spannungsquelle: Da zeigt die Spannung auch vom Minuspol auf den Pluspol; allerdings kann natürlich kein Strom direkt vom Minuspol zum Pluspol fließen, deswegen zeigt hier der blaue Pfeil scheinbar entgegen der Stromflussrichtung! Also, immer daran denken: Der Pfeil zeigt von minus nach plus!

Kirchhoffsche Knotenregel

„Die Summe der einfließenden Ströme in einen Knotenpunkt ist gleich der Summe der abfließenden Ströme.“

Fang am besten mit der Knotenregel für den Strom an. Ich habe in diesem Bild drei Knoten eingezeichnet, die dicken schwarzen Punkte. Du kannst in jedem Punkt einen Knoten aus mindestens zwei Leitungen sehen. Nehmen wir zuerst den zwischen R1 und R2: I1 fließt auf den Knoten ein und I2 fließt wieder ab. Laut der kirchhoffschen Knotenregel heißt das:

1. \(I_\mathrm{einfließend} = I_\mathrm{abfließend} \Rightarrow \color{green}{ I_1} = \color{red}{I_2} \)

Das ist die erste von 4 Formeln.

Welchen Knoten du dann auswählst, ist völlig egal. Das ist die Herausforderung bei den kirchhoffschen Regeln: Du musst selbst eine Entscheidung treffen, wo du sie anwenden willst!

Ich wähle den rechten der beiden Punkte.

Und nun die kirchhoffsche Knotenregel: Es fließen I1 und I3 auf den Knoten ein. Und es fließt I4 vom Knoten ab. Gemäß der kirchhoffschen Regel gilt dann:

2. \(I_\mathrm{einfließend} = I_\mathrm{abfließend} \Rightarrow \color{green}{ I_1} + \color{red}{I_3} = \color{green}{I_4}\)

Das ist die zweite Formel.

Kirchhoffsche Maschenregel

„Wenn man alle Teilspannungen in einem Umlauf um eine Masche addiert, dann erhält man 0.“

Jetzt musst du noch Formeln für die Spannungen U2 und U4 finden. Für Spannungen brauchst du die Maschenregel. Wieder musst du selbst irgendeine Masche wählen, die wenigstens eine von den gesuchten Spannungen enthält. Ich nehme erst einmal diese hier:

Sie enthält R1, R2 und R3. Als Nächstes musst du einen Startpunkt und eine Umlaufrichtung wählen. Es ist völlig egal, welche du nimmst, du musst dich nur entscheiden (für Unentschlossene sind diese Regeln deswegen nichts!). Ich nehme hier als Startpunkt den linken Knoten und wähle als Richtung den Uhrzeigersinn. Nachdem du das entschieden hast, läufst du alle Widerstände nacheinander ab.

  • U1 zeigt in Umlaufrichtung, also steht es mit einem Plus in der Gleichung.
  • U2 zeigt auch in Umlaufrichtung, es erhält auch ein Plus.
  • Aber U3 zeigt gegen die Umlaufrichtung, also bekommt es ein Minus in der Gleichung.

Das ergibt schon die dritte Formel: 3. \(\color{green}{U_1} + \color{red}{U_2} - \color{green}{U_3} = 0\)

So wendet man die Maschenregel an. Und das machst du gleich noch einmal, wir brauchen nämlich noch U4.

Diesmal musst du eine Masche wählen, die um den ganzen Stromkreis läuft, um U4. Startpunkt und Umlaufrichtung sind wieder egal. Ich setze den Startpunkt kurz hinter den Minuspol und gehe wieder im Uhrzeigersinn die Bauteile ab.

  • U3 zeigt in Umlaufrichtung und erhält deswegen ein Plus in der Gleichung.
  • U4 zeigt ebenfalls in Umlaufrichtung und erhält auch ein Plus.
  • Uges zeigt entgegen der Umlaufrichung und erhält deswegen ein Minus.

Das ergibt dann schließlich: 4. \(\color{green}{U_3} + \color{red}{U_4} - \color{green}{U_\mathrm{ges}} = 0\)

Und damit hast du schon alle 4 Formeln beisammen.

Schritt 3: Stell die Formeln nach dem Gesuchten um

Das ist nicht so schwierig in diesem Fall. Arbeite einfach die Formeln nacheinander ab.

\( \color{green}{ I_1} = \color{red}{I_2} \)

\(\begin{align} \color{green}{ I_1} + \color{red}{I_3} &= \color{green}{I_4} &&\mid - \color{green}{I_1} \\ \Leftrightarrow \color{red}{I_3} &= \color{green}{I_4} - \color{green}{I_1} \end{align}\)

\(\begin{align} \color{green}{U_1} + \color{red}{U_2} - \color{green}{U_3} &= 0 &&\mid - \color{green}{U_1} + \color{green}{U_3} \\ \Leftrightarrow \color{red}{U_2} &= - \color{green}{U_1} + \color{green}{U_3} \end{align}\)

\(\begin{align} \color{green}{U_3} + \color{red}{U_4} - \color{green}{U_\mathrm{ges}} &= 0 &&\mid - \color{green}{U_3} + \color{green}{U_\mathrm{ges}} \\ \Leftrightarrow \color{red}{U_4} &= - \color{green}{U_3} + \color{green}{U_\mathrm{ges}} \end{align}\)

Schritt 4: Rechne die gegebenen Werte in die richtigen Einheiten um

Vergewissere dich, dass alle Einheiten richtig sind! Alle Werte sollen in ihren Standardeinheiten stehen. Also Spannungen in Volt und Stromstärken in Ampere.

Die Werte, die eingesetzt werden sollen, sind:

\(\color{green} {\begin{align*} U_1\, &= 3\;\text{V}\\ U_3\, &= 5\;\text{V}\\ U_{ges}\, &= 12\;\text{V}\\ I_1\, &= 0{,}2\;\text{A} \\ I_4\, &= 0{,}6\;\text{A} \end{align*}}\)

Zum Glück sind alle Werte bereits richtig, du brauchst nichts umzurechnen.

Schritt 5: Setze die Werte in die Formel ein und rechne sie aus

Es kann also endlich losgehen. Geh am besten wieder der Reihe nach vor.

\(\begin {align*}\color{red}{I_2} &= \color{green}{ I_1} = 0{,}2~\mathrm{A}\\ \color{red}{I_3} &= \color{green}{I_4} - \color{green}{I_1} = 0{,}6~\mathrm{A} - 0{,}2 ~\mathrm{A} = 0{,}4~\mathrm{A} \\ \color{red}{U_2} &= - \color{green}{U_1} + \color{green}{U_3} = - 3~\mathrm{V} + 5~\mathrm{V} = 2~\mathrm{V} \\ \color{red}{U_4} &= - \color{green}{U_3} + \color{green}{U_\mathrm{ges}} = - 5~\mathrm{V} + 12~\mathrm{V} = 7 ~\mathrm{V} \end{align*}\)

Die gesuchten Stromstärken betragen I2 = 0,2 A und I3 = 0,4 A; die gesuchten Spannungen betragen U2 = 2 V und U4 = 7 V.

Teilaufgabe b)

Bestimme auch die Widerstände R1, R2, R3 und R4.

Schritt 1: Finde, was gegeben und was gesucht ist

Es gibt eine kirchhoffsche Regel für die Stromstärken und eine für die Spannungen. Aber es gibt keine für die dritte wichtige Größe, den Widerstand. In dieser Teilaufgabe sollst du deswegen auch die Widerstände bestimmen, und zwar mit deinem besten Freund in der Elektrizitätslehre: dem ohmschen Gesetz.

Aber der Reihe nach: Was ist gegeben? Gegeben sind alle Teilspannungen und Teilstromstärken, also:

\(\begin{align} \color{green}{U_1} &= 3~\mathrm{V},\; \color{green}{I_1} = 0{,}2~\mathrm{A}\\ \color{green}{U_2} &= 2~\mathrm{V},\; \color{green}{I_2} = 0{,}2~\mathrm{A}\\ \color{green}{U_3} &= 5~\mathrm{V},\;\color{green}{I_3} = 0{,}4~\mathrm{A}\\ \color{green}{U_4} &= 7~\mathrm{V},\;\color{green}{I_4} = 0{,}6~\mathrm{A}\\ \end{align}\)

Und gesucht sind alle Einzelwiderstände.

\(\begin{align} \color{red}{R_1} &=\ ?\\ \color{red}{R_2} &=\ ?\\ \color{red}{R_3} &=\ ?\\ \color{red}{R_4} &=\ ?\\ \end{align}\)

Schritt 2: Finde die richtige Formel

Ich hab es ja schon verraten: Immer wenn du zwischen Stromstärken, Spannungen und Widerständen hin und her rechnen willst, dann brauchst du das ohmsche Gesetz. Und da du dank Kirchhoffs Regeln bereits alle Spannungen und Stromstärken kennst, reicht dir hier ganz allein dieses ohmsche Gesetz.

\(R = \frac{U}{I}\)

Schritt 3: Stell die Formel nach dem Gesuchten um

Auch hier gibt es kaum etwas zu tun. Du musst einfach nur in das ohmsche Gesetz jeweils die Teilspannungen und -stromstärken einsetzen.

\(\begin{align} \color{red}{R_1} &= \frac{\color{green}{U_1}}{\color{green}{I_1}}\\ \color{red}{R_2} &= \frac{\color{green}{U_2}}{\color{green}{I_2}}\\ \color{red}{R_3} &= \frac{\color{green}{U_3}}{\color{green}{I_3}}\\ \color{red}{R_4} &= \frac{\color{green}{U_4}}{\color{green}{I_4}} \end{align}\)

Schritt 4: Rechne die gegebenen Werte in die richtigen Einheiten um

Jetzt musst du Acht geben, dass eine sinnvolle Einheit rauskommt. Alle Stromstärken sind in Ampere, alle Spannungen in Volt. Beim ohmschen Gesetz teilst du Spannung durch Stromstärke, bei der Einheit steht also Folgendes:

\(\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{A}} = \Omega\)

Da Volt geteilt durch Ampere gerade Ohm ergibt, sind die Einheiten gut, wie sie sind.

Schritt 5: Setze die Werte in die Formel ein und rechne sie aus

Du kannst ganz bequem einfach alles der Reihe nach einsetzen.

\(\begin{align} \color{red}{R_1} &= \frac{\color{green}{U_1}}{\color{green}{I_1}} = \frac{3~\mathrm{V}}{0{,}2~\mathrm{A}}= 15~\Omega\\ \color{red}{R_2} &= \frac{\color{green}{U_2}}{\color{green}{I_2}} = \frac{2~\mathrm{V}}{0{,}2~\mathrm{A}}= 10~\Omega\\ \color{red}{R_3} &= \frac{\color{green}{U_3}}{\color{green}{I_3}} = \frac{5~\mathrm{V}}{0{,}4~\mathrm{A}}= 12{,}5~\Omega\\ \color{red}{R_4} &= \frac{\color{green}{U_4}}{\color{green}{I_4}} = \frac{7~\mathrm{V}}{0{,}6~\mathrm{A}}= 11{,}\overline{6}~\Omega\\ \end{align}\)

Die Einzelwiderstände betragen \(R_1 = 15~\Omega\), \(R_2 = 10~\Omega\), \(R_3 = 12{,}5~\Omega\) und \(R_4 = 11{,}\overline{6}~\Omega\).

Lösung

  1. Die gesuchten Stromstärken betragen \(I_2 =0{,}2\;\text{A}\) und \(I_3=0{,}4\;\text{A}\) und die gesuchten Spannungen betragen \(U_2=2\;\text{A}\) und \(U_4=7\;\text{A}\).
  2. Die Einzelwiderstände betragen \(R_1 = 15~\Omega\), \(R_2 = 10~\Omega\), \(R_3 = 12{,}5~\Omega\) und \(R_4 = 11{,}\overline{6}~\Omega\).
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