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Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wie du das ohmsche Gesetz in einer Reihenschaltung anwendest

Aufgabe

Die drei Widerstände \(R_1 = 300 \,\Omega\)\(R_2 = 90 \,\Omega\) und \(R_3 = 170 \,\Omega\) sind in Reihe geschaltet. An die Schaltung wird eine Spannung von \(230 \,\text V\) angeschlossen.

  1. Berechne den Gesamtwiderstand und die Gesamtstromstärke.
  2. Berechne die Teilspannungen der einzelnen Widerstände.

Teilaufgabe a

Berechne den Gesamtwiderstand und die Gesamtstromstärke.

Schritt 1: Stelle fest, was gegeben und gesucht ist

Zunächst solltest du dir die Aufgabe genau durchlesen und klarmachen, welche Informationen gegeben sind und wonach gefragt wird.

Gegeben sind in dieser Aufgabe:

drei in Reihe geschaltete Teilwiderstände und eine Gesamtspannung.

Erster Widerstand: \(R_1 = 200 \,\Omega\)

Zweiter Widerstand: \(R_2 = 90\,\Omega\)

Dritter Widerstand: \(R_3=170\,\Omega\)

Gesamtspannung: \(U_{ges}=230\,\text V\)

Gesucht werden:

Gesamtwiderstand: \(\color{red} {R_{ges}}\)

Gesamtstromstärke: \(\color{red} {I_{ges}}\)

Schritt 2: Finde die richtige Formel

Das Finden der korrekten Formel ist so ziemlich das Wichtigste, um auch auf das richtige Ergebnis zu kommen. Daher solltest du dir immer genug Zeit nehmen, um diese zu finden.

Überlege dir zunächst, welches Thema behandelt wird. Gegeben sind drei Widerstände und eine Spannung, gesucht wird nach einem Gesamtwiderstand und einer Gesamtstromstärke. Daher kannst du schon mal annehmen, dass es um die Elektrizitätslehre geht. Nun musst du nur noch wissen, welche Formeln hier genutzt werden müssen. 

\(R= \frac {U}{I}\)

\(R_{ges}=\) Gesamtwiderstand (oder auch ohmscher Widerstand)

\(U_{ges}=\) Gesamtspannung

\(I_{ges} =\) Gesamtstromstärke

Jedoch ist nicht einfach nur ein Widerstand gegeben, sondern drei Widerstände in Reihe. Somit musst du noch beachten, wie die Regeln für eine Reihenschaltung sind:

\(R_{ges}=R_1+R_2+R_3\)

\(U_{ges} = U_1+U_2+U_3\)

\(I_{ges}=I_1=I_2=I_3\)

Diese sind bei einer Reihenschaltung immer gleich.

Schritt 3: Stelle die Formel nach dem Gesuchten um

Zunächst betrachten wir den Gesamtwiderstand. Hier ist die Formel bereits in einer Gestalt, dass du den Gesamtwiderstand als Ergebnis bekommst. Somit entfällt in diesem Fall das Umstellen:

\(R_{ges} = R_1+R_2+R_3\)

Um die Gesamtstromstärke zu berechnen, müssen wir das ohmsche Gesetz anwenden und die Formel nach der Stromstärke I umstellen:

\(R=\frac{U}{\color{red}I}\)

Dazu kannst du auch ein Formeldreieck zur Hilfe nehmen, wie du es anwendest, kannst du hier lernen.

\(\Huge {\frac{U}{\color{red}I \,\cdot \, R}}\)

Schritt 4: Rechne die gegebenen Werte in die richtige Einheit um

Es ist wichtig, dass alle benutzten Werte in den passenden Einheiten zueinander stehen und miteinander übereinstimmen. Insbesondere heißt das, dass alle gleichen Größen (hier z. B. die verschiedenen Widerstände) in genau derselben Einheit sind.

In diesem Beispiel ist es also wichtig, zu wissen, dass \(1 \Omega\) als \(1\frac {\text V}{\text A}\) definiert ist.

Schritt 5: Setze die Werte in die Formel ein und rechne sie aus

Setze zunächst die Werte in die Formel für den Gesamtwiderstand ein. Dann erhältst du Folgendes:

\(R_{ges}=R_1+R_2+R_3 = 200\, \Omega \, + 90 \,\Omega\,+170\,\Omega\,=460\,\Omega\)

Der Gesamtwiderstand beträgt somit:

\(R_{ges}=460\,\Omega\)

Der Gesamtwiderstand muss natürlich dieselbe Einheit wie die einzelnen Widerstände haben. Somit kannst du dir sicher sein, dass du richtig gerechnet hast.

Jetzt kannst du dich der Gesamtstromstärke zuwenden. Die vorhin nach der Gesamtstromstärke umgestellt Formel lautet:

\(I=\,\frac{U}{R}\)

Nun musst du nur noch die Werte in die Formel einsetzen und erhältst:

\(I_{ges}=\frac{U_{ges}}{R_{ges}}=\frac{230 \,\text V}{460\,\Omega}= \frac {230}{460}\frac{\text V}{\Omega}=\frac {230}{460}\frac {\text V}{\frac{\text V}{\text A}}=\frac{230}{460}\frac{\color{red}{\not \text V}}{\frac{\color{red}{\not \text V}}{\text A}}=0,5\, \text A\)

Somit lautet dein Ergebnis:

\(I_{ges}=0,5\,\text A\)

Lösung:

Der Gesamtwiderstand beträgt \(\color{red}{R_{ges}}=460 \,\Omega\) und die Gesamtstromstärke beträgt \(\color{red}{I_{ges}}=0,5 \,\text A\).

Teilaufgabe b

Berechne die Teilspannung der einzelnen Widerstände.

Schritt 1: Stelle fest, was gegeben und was gesucht ist

Wieder sind folgende Sachen gegeben:

drei Widerstände in Reihe.

Erster Widerstand \(R_1=\,200\,\Omega\)

Zweiter Widerstand \(R_2 =\, 90\,\Omega\)

Dritter Widerstand \(R_3 = \,170\,\Omega\)

Spannung \(U_{ges}=\,230\,\text V\)

Zusätzlich wissen wir aus der Aufgabe a:

Gesamtwiderstand \(R_{ges}=\, 460\,\Omega\)

Gesamtstromstärke \(I_{ges}=\,0,5\,\text A\)

Gesucht werden:

die Teilspannungen über die einzelnen Widerstände \(U_1,\,U_2 \text {und} \, U_3\).

Schritt 2: Finde die richtige Formel

Wie schon zuvor überlegt, ist es eine Aufgabe aus der Elektrizitätslehre. Da es wieder um Widerstände geht, wirst du auch wieder das ohmsche Gesetz anwenden müssen:

\(R= \frac{U}{I}\)

Wichtig ist, dass das ohmsche Gesetz nicht nur für \(R_{ges}\), \(I_{ges}\) und \(U_{ges}\) gilt, sondern auch an jedem einzelnen Widerstand. Deswegen gilt Folgendes:

\(R_1=\frac{U_1}{I_1}\)

Das gilt natürlich auch für \(R_2\) und \(R_3\) mit den jeweils entsprechenden Stromstärken und Spannungen. 

Schritt 3: Stelle die Formel nach dem Gesuchten um

Als Erstes musst du daran denken, was genau du suchst. Du möchtest die Spannung U über die Widerstände berechnen und somit musst du das ohmsche Gesetz nach dieser umstellen. Die Formel lautet:

\(\Huge {\frac {\color{red}{U}}{R \cdot I}}\)

Schritt 4: Rechne die gegebenen Werte in die richtige Einheit um

Die Einheiten sind dieselben wie in Aufgabe a. Somit weißt du, dass \(\Omega\) wieder in \(\frac {\text V}{\text A}\) umgeformt werden muss.

Schritt 5: Setze die Werte in die Formel ein und rechne sie aus

Aus der Formel für die Reihenschaltung wissen wir, das der Strom überall gleich ist, und den hast du schon in Teilaufgabe a ausgerechnet.

\(I_1=I_2=I_3=I_{ges}=0,5 \,\text A\)

In der Schaltung sind dazu drei verschiedene Widerstände eingebaut. Somit musst du die folgende Rechnung für jeden einzelnen Widerstand durchführen und abschließend die Einzelspannungen aufaddieren.­­

\(U_1=R_1 \cdot I_1= 200\, \Omega \cdot 0,5 \,\text A=100 \cdot \frac{\text V}{\color{red}{\not \text A}} \cdot \color{red} {\not \text A}= 100\,\text V\)

Da sich die Ampere rauskürzen, bleibt Volt als Einheit übrig. Volt ist die Einheit der Spannung. Somit hast du richtig gerechnet und das Ergebnis lautet:

\(U_1=100\,\text V\)

Nach demselben Schema kannst du bei den beiden anderen Rechnungen vorgehen.

\(U_2=R_2 \cdot I_2=90\,\Omega \cdot 0,5\,\text A = 45\,\text V\)

\(U_3=R_3 \cdot I_3=170\,\Omega \cdot 0,5\,\text A = 85\,\text V\)

Zum Schluss kannst du noch überprüfen, ob die Summe der Teilwiderstände tatsächlich gleich dem Gesamtwiderstand ist:

\(U_1+U_2+U_3=100\,\text V+ 45 \,\text V+ 85 \,\text V = 230 \,\text V\)

Damit hast du eine zusätzliche Sicherheit und kannst abschließend deinen Antwortsatz schreiben:

Die Spannung über den ersten Widerstand beträgt 100 V, über den zweiten Widerstand 45 V und über den dritten Widerstand 85 V.

Lösung

  1. Der Gesamtwiderstand beträgt \(\color{red}{R_{ges}}=460 \,\Omega\) und die Gesamtstromstärke beträgt \(\color{red}{I_{ges}}=0,5 \,\text A\).
  2. Die Spannung über den ersten Widerstand beträgt 100 V, über den zweiten Widerstand 45 V und über den dritten Widerstand 85 V.
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