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Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wie du Aufgaben mit Flaschenzügen löst

Aufgabe

Mit einem Flaschenzug (Gewichtskraft der losen Flasche 60 N) wird eine Last von 1,2 kN um 15 m hochgehoben. Dazu ist mindestens die Kraft 180 N erforderlich.

  1. Wie viele Rollen hat der Flaschenzug insgesamt?
  2. Welche Seillänge muss am Flaschenzug gezogen werden?

Teilaufgabe a)

Schritt 1: Stelle fest, was gegeben und was gesucht ist

Wir beginnen mit dem Aufgabenteil a).
Wie viele Rollen hat der Flaschenzug insgesamt?

Lies dir die Aufgabe aufmerksam durch und schreibe dir raus, was gegeben und was gesucht ist.

Hier sind folgende Größen gegeben:
Gewichtskraft der losen Flasche: 60 N
Gewichtskraft der Last: 1,2 kN
Strecke, um die die Last angehoben wird/Laststrecke: 15 m
Kraft: 180 N

Und gesucht wird:
Anzahl Rollen: ?

Hier ist eine Skizze, wie ein Flaschenzug aussehen kann:

Wie du Aufgaben mit Flaschenzügen löst - Abbildung 1

Schritt 2: Finde die richtige Formel

Das ist fast der wichtigste Schritt. Du musst herausfinden, welche Formel du benutzen musst, um die Aufgabe zu lösen. Überlege dir mal in eigenen Worten, worum es in der Aufgabe geht. Es gibt also einen Flaschenzug mit einer Last, die um eine Strecke angehoben werden soll. Du sollst jetzt die Anzahl der benötigten Rollen herausfinden. 

Das Thema ist also Flaschenzug. Für einen Flaschenzug gibt es die folgende Formel:

\(F_Z = \frac{1}{n} \cdot F_G\)

In diesem speziellen Fall ist \(F_G = F_{GL} + F_{GF}\), weil die Last und auch die Flasche nach unten ziehen und also die Gewichtskraft ausmachen. Was ein Flaschenzug ist, was eine Flasche ist und noch viel mehr über den Flaschenzug kannst du dir in dem Erklärvideo „Wie funktioniert ein Flaschenzug“ einmal angucken. Es ergibt sich die Formel:

\(F_Z = \frac{1}{n} \cdot (F_{GL}+F_{GF})\)

Dabei ist:

\(\begin{align*} F_Z&=\text{Zugkraft}\\ n&=\text{Anzahl der Seile}\approx \text{Anzahl der Rollen}\\ F_{GL}&=\text{Gewichtskraft der Last}\\ F_{GF}&=\text{Gewichtskraft der Flasche} \end{align*}\)

In der Formel steht \(F_Z\) für die Zugkraft, also die Kraft, mit der gezogen wird. \(n\) steht für die Anzahl der tragenden Seilabschnitte, also auch für die Anzahl der Rollen, die ja gesucht ist. Eine genaue Erklärung dafür kannst du dir in dem Erklärvideo „Wie funktioniert ein Flaschenzug“ noch einmal anschauen. \(F_{GL}\) ist die Gewichtskraft der Last, die nach unten zieht, und \(F_{GF}\) ist die Gewichtskraft der Flasche, die auch nach unten zieht. Die Flasche besteht aus mehreren Rollen, die fest zusammengemacht sind, das kannst du dir auch noch einmal in dem Erklärvideo „Wie funktioniert ein Flaschenzug“ angucken.

Schritt 3: Stelle die Formel nach dem Gesuchten um 

Nun musst du die Formel nach dem Gesuchten umstellen. Im Prinzip funktioniert das, wie wenn du eine Gleichung nach einer Unbekannten auflöst, nur dass die Unbekannte die gesuchte Größe ist. Wenn du dir das noch mal anschauen willst, kannst du das hier.

In unserem Fall ist die gesuchte Größe, wie du in Schritt 1 festgestellt hast, die Anzahl der Rollen \(\color{red}{n}\).

Also stellen wir die Formel um.

\(F_Z = \frac{1}{\color{red}{n}} \cdot (F_{GL}+F_{GF})\)

Wir wissen, dass wir zuerst die Klammer auflösen müssen. Das machen wir, indem wir \(\large \frac{1}{\color{red}{n}}\) vor der Klammer auf die andere Seite bringen. Dafür multiplizieren wir beide Seiten mit \(\color{red}{n}\).

\(F_Z \cdot \color{red}{n} = F_{GL}+F_{GF}\)

Nun teilen wir durch \( F_Z\), um \(n\) allein auf der linken Seite zu haben.

\(\color{red}{n} = \large {\frac{F_{GL}\ +\ F_{GF}}{F_Z}}\)

Nun ist die Formel fertig umgestellt.

Schritt 4: Rechne die gegebenen Werte in die passenden Einheiten um

Jetzt musst du nur noch die gegebenen Werte prüfen, ob sie auch in die Formel passen und ob überall die Einheiten richtig sind. Das macht alles leichter, denn einheitliche Einheiten sind immer besser.

Die Gewichtskraft der losen Flasche und die der Last sind beide in der Einheit N angegeben, also Newton. Die Last ist allerdings in kN angegeben, also Kilonewton. Jetzt müssen wir in Newton umrechnen. 1 Kilonewton sind 1000 Newton, also:

\(1{,}2 \thinspace \text{kN} = 1200\thinspace \text{N}\) 

Damit haben wir alles umgerechnet, was wir brauchen. Die Anzahl der Rollen \(n\) hat keine Einheit, weil es nur eine Zahl ist, die angibt, wie viele Rollen es gibt.

Schritt 5: Setze die Werte in die Formel ein und rechne sie aus

Wenn du die Werte von Schritt 1 und 4 nun in die Formel einsetzt, kommt Folgendes raus:

\(\color{red}{n} = \large {\frac{F_{GL}\ +\ F_{GF}}{F_Z} = \frac{1200 \thinspace \text{N}\ +\ 60 \thinspace \text{N}}{180 \thinspace \text{N}} }= \frac{1260 \thinspace \text{N}}{180\thinspace \text{N}}\)

Wenn du das nun ausrechnest, kürzen sich die Einheiten raus und es ergibt sich die Anzahl der Rollen, natürlich ohne Einheit:

\(\color{red}{n} = \large{ \frac{1260 \thinspace \cancel{\text{N}}}{180\thinspace \cancel{\text{N}}}} = 7\)

Die Anzahl der Rollen ist 7.

Teilaufgabe b)

Schritt 1: Stelle fest, was gegeben und was gesucht ist

Nun lösen wir Aufgabenteil b).
Welche Seillänge muss am Flaschenzug gezogen werden?

Wie du Aufgaben mit Flaschenzügen löst - Abbildung 2

Lies dir die Aufgabe aufmerksam durch und schreibe dir raus, was gegeben und was gesucht ist.

Hier sind folgende Größen gegeben:
Gewichtskraft der losen Flasche: 60 N
Gewichtskraft der Last: 1,2 kN
Strecke, um die die Last angehoben wird/Laststrecke: 15 m
Kraft: 180 N

Aus Aufgabenteil a) haben wir:
Anzahl der Rollen: 7

Und gesucht wird:
Seillänge, die gezogen werden muss/Zugstrecke: ?

Schritt 2: Finde die richtige Formel

Die Formel für die Strecke, die mit den Seilen gezogen wird, lautet:

\(s_Z = n \cdot s_L\)

Dabei ist: 

\(\begin{align*}s_Z &= \text{Zugstrecke}\\ n &= \text{Anzahl der tragenden Seilabschnitte}\\ s_L &= \text{Laststrecke}\end{align*}\)

\(s_Z\) steht für Zugstrecke, also für die Strecke, die benötigt wird, um die Last um eine gewisse Strecke \(s_L\) hochzuheben. \(n\) steht für die Anzahl der tragenden Seilabschnitte, also auch die Anzahl der Rollen aus Aufgabenteil a), und \(s_L\) steht für die Laststrecke, also für die Strecke, um die die Last hochgehoben wird.

Schritt 3: Stelle die Formel nach dem Gesuchten um

In diesem Schritt stellen wir die Formel nach dem Gesuchten um. Wir suchen also die Zugstrecke. Unsere Formel hat aber schon die Zugstrecke allein auf einer Seite, also müssen wir nichts umstellen.

\(\color{red}{s_Z} = n \cdot s_L\)

Wenn du diese Formel doch einmal nach etwas anderem auflösen musst, kannst du das ganz einfach mit dem Formeldreieck tun. 

\(\huge\frac{s_z}{n\;\cdot\;s_l} \)

Schritt 4: Rechne die gegebenen Werte in die passenden Einheiten um

Wir haben zwei Einheiten in Meter, die Zugstrecke und die Laststrecke. Die Anzahl der tragenden Seilabschnitte hat keine Einheit. Also sind alle Einheiten richtig und müssen nicht umgerechnet werden.

Schritt 5: Setze die Werte in die Formel ein und rechne sie aus

Wir setzen den Wert aus Aufgabenteil a) für \(n\) ein und den Wert für die Laststrecke \(s_L\).

\(s_Z = n \cdot s_L = 7 \cdot 15\thinspace\text{m} = 105\thinspace\text{m}\)

Die Zugstrecke ist also 105 m lang.

Lösung

  1. Es müssen 7 Rollen sein, um die Last für 15 m hochzuheben.
  2. Die Seillänge, die dabei gezogen werden muss, beträgt 105 m.

Wie du Aufgaben mit Flaschenzügen löst - Abbildung 3

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