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Umformungsregeln einfach erklärt

Klassenstufe:

Was ist eine Umformungsregel?

Einen mathematischen Ausdruck kann man immer auf mehrere Weisen darstellen. Als einfaches Beispiel kannst du die Zahl Zehn nicht nur als \(10\), sondern auch als \(5\cdot2\) schreiben:

\(10 = 5 \cdot 2\)

Wenn sich so wie hier der Wert des Terms nicht ändert, dann handelt es sich um eine Umformung. Wir haben also den Wert des Terms nicht beeinflusst, sondern ihn nur auf eine andere Weise ausgeschrieben.

Eine der wichtigsten Umformungsregeln ist die Primfaktorzerlegung. Auch das kleinste gemeinsame Vielfache und der größte gemeinsame Teiler sind für die Umformung von mathematischen Ausdrücken von großer Bedeutung. All das erklären wir dir der Reihe nach!

Die wichtigsten Lernwege dazu findest du hier. Du willst dein Wissen testen? Dann sind unsere Klassenarbeiten zu den Umformungsregeln genau das Richtige für dich.

Wann wendet man Umformungsregeln an?

Umformungsregeln verwendet man bei Zahlen und auch bei sogenannten Termen an. Ein Term ist ein mathematischer Ausdruck, der Zahlen, Klammern, Variablen und Rechenzeichen beinhalten kann. Wenn du eine Umformungsregel auf einen Term anwendest, dann bedeutet dies, dass der Ausgangsterm in einen anderen gleichwertigen Term umgewandelt wird.

Je nach Rechenoperation unterscheidet man vier verschiedene Arten von Termen:

  • Summe
  • Differenz
  • Produkt
  • Quotient

Alles Weitere rund um die Terme und die verschiedenen Termarten erfährst du in unserem Lernweg zum Thema Terme.

Welche wichtigen Umformungsregeln gibt es?

Es gibt unterschiedliche Umformungsregeln. Hier erklären wir dir die Wichtigsten.

Die Primfaktorzerlegung

Die erste wichtige Umformungsregel, der du im Mathematikunterricht begegnest, ist die Primfaktorzerlegung. Damit ist gemeint, dass man eine Zahl in ein Produkt aus Primzahlen umformt. Primzahlen sind besondere ganze Zahlen, die nur durch die Zahl Eins und durch sich selbst teilbar sind. Wie du diese Zerlegung genau hinbekommst, findest du in unserem Lernweg zur Primfaktorzerlegung heraus.

Der Primfaktorzerlegung wirst du im Laufe deiner Schullaufbahn noch an vielen Stellen in Mathe begegnen. Auch jetzt brauchst du sie schon, um das kleinste gemeinsame Vielfache und den größten gemeinsamen Teiler von zwei Termen herauszufinden.

Das kleinste gemeinsame Vielfache und der größte gemeinsame Teiler

Diese beiden Größen werden so definiert: 

  • Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) von mehreren Zahlen oder Termen ist die kleinste Zahl, die ein Vielfaches von allen Ausgangszahlen oder -termen ist. Man kann das kgV also durch alle Ausgangszahlen teilen, ohne dass ein Rest übrig bleibt.
  • Der größte gemeinsame Teiler (ggT) von mehreren Zahlen oder Termen ist die größte Zahl, durch die man alle Ausgangszahlen oder -terme teilen kann. Alle Ausgangszahlen sind also ein Vielfaches des ggT.

 Für die Ausgangszahlen \(\{10,15\}\) gilt beispielsweise:

  • \(\text{kgV} = 30\)
  • \(\text{ggT} = 5\)

Am schnellsten kann man das kgV und den ggT mit der Primfaktorzerlegung bestimmen. Wie das genau funktioniert und alle weiteren Details zu kgV und ggT kannst du dir in unserem Lernweg zum kleinsten gemeinsamen Vielfachen und dem größten gemeinsamen Teiler anschauen.

Wofür braucht man die Umformungsregeln?

Am Anfang geht es im Matheunterricht einfach darum, die Primfaktorzerlegung oder das kgV und den ggT von Ausgangszahlen oder -termen zu bestimmen. Alles also ganz ohne Anwendung. Aber schon bald wirst du diese Umformungsregeln brauchen, um andere Rechnungen durchführen zu können.

Das kgV und das ggT werden zum Beispiel unerlässlich für das Rechnen mit Brüchen. Denn um zwei verschiedene Brüche zu addieren oder zu subtrahieren, musst du sie oft zuerst auf das kgV erweitern. Und um Brüche effizient kürzen zu können, musst du den ggT von den beiden Zahlen in einem Bruch kennen.

Im Alltag wirst du die Primfaktorzerlegung nicht wirklich brauchen. Aber es ist eine Technik, die dir andere Rechnungen wie das Bruchrechen erheblich erleichtert, und Bruchrechnen kann dir im Alltag an verschiedensten Stellen begegnen.