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Symmetrie, Spiegelung und Streckung einfach erklärt

Klassenstufe:

Was sind Symmetrie, Spiegelung und Streckung in der Mathematik

Wenn du etwas zu diesen Begriffen lernen möchtest, solltest du schon ein paar geometrische Grundlagen mitbringen. Du solltest Punkte, Strecken, Dreiecke und Kreise kennen. Außerdem solltest du verstehen, wie du geometrische Figuren konstruieren bzw. zeichnen kannst.

Bei den drei Begriffen Symmetrie, Spiegelung und Streckung geht es um sogenannte Ähnlichkeitsabbildungen. Das klingt vielleicht kompliziert, ist es aber nicht. Zwei Figuren nennt man in der Geometrie ähnlich zueinander, wenn sie die gleiche Form haben. Ihre Größe kann allerdings unterschiedlich sein.

Wenn du dich im Detail mit diesen drei Begriffen auseinandersetzen willst, schau dir doch unsere Lernwege dazu an. Du findest einige von ihnen unter diesem Absatz.

Was bedeutet es in der Geometrie, die gleiche Form zu haben?

Die gleiche Form zu haben, hat in der Geometrie die gleiche Bedeutung wie in deinem Alltag. Das kann man natürlich mathematisch genau ausdrücken:

Zwei Figuren haben die gleiche Form, wenn sie die gleichen Winkel und Seitenverhältnisse haben.

Ein Beispiel siehst du in diesem Bild hier. Wenn du also das Abbild einer bestimmten Figur siehst und die Figur und ihr Abbild ähnlich zueinander sind, handelt es sich um eine Ähnlichkeitsabbildung.

Zwei Figuren mit gleicher Form aber einer anderen Größe und Ausrichtung.

Welche Arten von Symmetrie, Spiegelung und Streckung gibt es?

Es gibt eine Reihe unterschiedlicher Arten von Symmetrie, die dir begegnen können. Generell werden drei Arten von Symmetrie unterschieden:

  • Achsen- oder Spiegelsymmetrie
  • Rotations- oder Drehsymmetrie
  • Translations- oder Verschiebungssymmetrie

Die Idee dahinter ist aber immer die gleiche: Es geht um Deckungsgleichheit. Die Spiegelsymmetrie ist eine dieser Arten. Wenn man eine Figur an einer Achse spiegelt, sagt man, dass ihr Abbild spiegelsymmetrisch zu der Figur ist. Schau dir z. B. den Smiley hier an. Wenn du ihn entlang der eingezeichneten Achse falten würdest, wären beide Seiten genau deckungsgleich oder eben symmetrisch.

Die Spiegelung einer Figur kannst du aber nicht nur an einer Achse, sondern auch an einem Punkt ausführen. Ferner kannst du mit einem Punkt eine zentrische Streckung ausführen.

Ein Smiley mit einer Symmetrieachse in der Mitte. Seine linke und rechte Seite sind spiegelsymmetrisch zueinander.

Welche Merkmale sind bei Symmetrie, Spiegelung und Streckung wichtig?

Ein wichtiges Merkmal bei Symmetrie, Spiegelung und Streckung ist jeweils das Zentrum, mit dem die Abbildungen konstruiert werden. Das kann eine Achse oder ein Punkt sein. Bei bestimmten Drehsymmetrien spielt außerdem der jeweilige Drehwinkel, um den gedreht wird, eine Rolle. Bei der Verschiebungssymmetrie braucht es entsprechend einen Verschiebungsvektor. Dieser besteht aus einer Länge und einer Richtung für die Verschiebung.

Bei der Streckung gibt es noch den Streckungsfaktor, den du beachten musst. Von ihm hängt ab, ob eine Streckung eine Figur vergrößert oder verkleinert. Wenn eine Figur dabei verkleinert wird, spricht man auch von Stauchung.

Wo findet man Symmetrie, Spiegelung und Streckung sonst noch?

Du kannst Symmetrie, Spiegelung und Streckung eigentlich überall finden, wenn du nur danach suchst. Diese Phänomene begegnen dir sowohl in der Naturwissenschaft, als auch bei Dingen, die von Menschen geschaffen werden.

In anderen Bereichen der Mathematik

Bisher ging es nur um Symmetrie, Spiegelung und Streckung in der Ebene. Natürlich kannst du solche Ähnlichkeitsabbildungen auch in der Geometrie im Raum, also in drei Dimensionen, wiederfinden.

Ähnlichkeitsabbildungen können auf alle geometrischen Figuren angewandt werden. Dazu gehören auch Graphen. In der Analysis spielen Symmetrie, Spiegelung und Streckung bei Graphen im Koordinatensystem eine wichtige Rolle. Diese führst du dann aber eher nicht mit Zirkel und Lineal durch, sondern mithilfe analytischer Methoden.

Im Alltag

Im Alltag finden sich Symmetrie, Spiegelung und Streckung sowohl in der Natur als auch in der Kunst. Die Natur bringt häufig Symmetrien hervor. Schau nur in den Spiegel: Deine linke Körperhälfte ist ungefähr spiegelsymmetrisch zu deiner rechten. Das gilt für viele Tierarten.

Viele Künstler achten darauf, dass ihre Werke Symmetrien enthalten. Wir empfinden das als schön. Schau dir beim Gang durch die Stadt die Architektur von Gebäuden an. Fast immer wirst du irgendeine Art von Symmetrie entdecken.