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Abiturprüfung

Originalprüfung GA 2

Abitur 25 Minuten

 

 
  • Aufgabe 1

    1 Minute

    Die Funktion \(f\) ist gegeben durch \(f(x) =(2-x)\cdot e^x\), . Die Graphen der Funktion \(f\) und ihrer Ableitungsfunktion \(f'\) sind in der Abbildung dargestellt.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    a)

    1. Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte des Graphen von \(f\) mit den Koordinatenachsen.
    2. Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten der Extrem- und Wendepunkte des Graphen von \(f\).
      [Zur Kontrolle: \(f'(x) = (1-x)\cdot e^x\)]
    3. Untersuchen Sie, ob sich die Graphen der Funktionen \(f\) und \(f'\) schneiden.
  • Aufgabe 2

    1 Minute

    b)

    1. Zeigen Sie, dass die Funktion \(F\) mit der Gleichung \(F(x) = (3-x)\cdot e^x\) eine Stammfunktion von \(f\) ist.

    2. Ermitteln Sie für \(0 \leq z \leq 2\) den Inhalt \(A(z)\) der zwischen dem Graphen von \(f\) und der \(x\)-Achse im Intervall \([0;z]\) eingeschlossenen Fläche in Abhängigkeit von \(z\).
      [Zur Kontrolle: \(A(z) = (3-z)\cdot e^x-3\)]

  • Aufgabe 3

    1 Minute 25 Punkte

    c)

    Auf einem Erdölfeld wird Öl gefördert. Durch die Funktion \(f\) wird nun für \(0\leq x \leq 2\) die Förderratevon Beginn des Jahres 2013 bis Ende des Jahres 2014 modelliert. Dabei wird \(x\) als Maßzahl der Zeit zur Einheit 1 Jahr und \(f(x)\) als Maßzahl der Förderrate zur Einheit 1 Million Tonnen pro Jahr aufgefasst.

    1. Beschreiben Sie den Verlauf des Graphen von \(f\) im Intervall \([0;2]\) im Sachzusammenhang.
    2. Bestimmen Sie die für den gesamten Zeitraum von Beginn des Jahres 2013 bis Ende des Jahres 2014 zu erwartende Fördermenge.
    3. Am Ende des ersten Quartals 2014 erkennt der Betreiber, dass die Förderrate von diesem Zeitpunkt an – im Gegensatz zur Modellierung durch die Funktion \(f\) – bis zum Ende der Ölförderung linear abnehmen wird. Zur Darstellung der Förderrate für die verbleibende Dauer der Ölförderung wird daher eine lineare Funktion \(g\) gesucht, deren Graph zum Zeitpunkt \(x = \frac54\) dieselbe Steigung hat wie der Graph der Funktion \(f\).
      Ermitteln Sie eine Gleichung dieser Funktion \(g\).
      Berechnen Sie den Zeitpunkt, zu dem die Ölförderung enden wird. 
      [Zur Kontrolle: \(g(x) = \frac{1}{16} e^{\frac54} \cdot (17-4x)\)]
  • Aufgabe 4

    1 Minute 10 Punkte

    1Unter Förderrate ist stets die momentane Förderrate zu verstehen.

    In ein Staubecken oberhalb eines Bergdorfes fließt ein Bach. Die momentane Zuflussrate1 aus dem Bach kann an einem Tag mit starken Regenfällen durch die Funktion \(f\) mit der Gleichung
     \(f(t) = \frac14 t^3 -12t^2 +144t +250;\quad t \in \mathbb{R}\)
    für einen bestimmten Beobachtungszeitraum modelliert werden. Dabei fasst man \(t\) als Maßzahl zur Einheit \(1\,\text{h}\) und \(f(t)\) als Maßzahl zur Einheit \(1\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}\) auf. Der Beobachtungszeitraum beginnt zum Zeitpunkt \(t = 0\) und endet zum Zeitpunkt \(t = 24\).

     


     

     

     

     

     

     

     

     

    a)

    1. Berechnen Sie die Zuflussrate zu Beginn und am Ende des Beobachtungszeitraums.
    2. Bestimmen Sie den Zeitpunkt \(t_m \in [0;24]\), zu dem die Zuflussrate ihr Maximum annimmt, und berechnen Sie dieses Maximum.
  • Aufgabe 5

    1 Minute 15 Punkte

    b)

    1. Bestimmen Sie die Wendestelle des Graphen der Funktion \(f\).
    2. Bestimmen Sie den Zeitpunkt des Beobachtungszeitraums, zu dem sich die Zuflussrate am stärksten ändert. 
    3. Geben Sie nun die Bedeutung der Wendestelle aus (1) im Sachzusammenhang an.
    4. Geben Sie einen Zeitraum an, in dem die Funktion \(f\) die Zuflussrate nicht sinnvoll beschreiben könnte, und begründen Sie dies. 
  • Aufgabe 6

    1 Minute

    c)

    Zum Zeitpunkt \(t\) kann das Staubecken noch \(4500 \text { m}^3\) Wasser aufnehmen. 

    1. Entscheiden Sie, ob das Staubecken das gesamte Wasser aus dem Bach während der 24 Stunden des Beobachtungszeitraums aufnehmen könnte.
    2. Die Gleichung \(\int_{a}^{0}f(t)\mathrm{d}t = 4500\) hat die (positive) Lösung \(a \approx 7,6\).
      Geben Sie die Bedeutung dieser Lösung im Sachzusammenhang an.

    Um ein Überlaufen des Staubeckens zu verhindern, wird zum Zeitpunkt \(t = 6\) ein vorher verschlossener Notablauf geöffnet. Durch diesen fließt Wasser mit einer konstanten Abflussrate von \(600\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}\) aus dem Staubecken ab. Der Notablauf bleibt bis zum Ende des Beobachtungszeitraums geöffnet. Ohne Nachweis darf verwendet werden, dass die Zuflussrate für \(6 \leq t \leq 14\) größer und für \(14 < t \leq 24\) kleiner als \(600\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}\) ist (vgl. Abbildung). 

    1. Interpretieren Sie den Ausdruck \(\int_{0}^{6}f(t)\mathrm{d}t + \int_{6}^{14}(f(t)-600)\mathrm{d}t\) im Sachzusammenhang. Geben Sie insbesondere die Bedeutung des Zeitpunktes \(t = 14\) an.
    2. Entscheiden Sie nun, ob das Staubecken innerhalb des Beobachtungszeitraums überläuft. 
  • Aufgabe 7

    1 Minute

    Ein Blatt DIN-A4-Papier liegt in der \(x_1\)-\(x_2\)-Ebene. Gegeben sind seine Eckpunkte \(O(0|0|0)\)\(A(\sqrt{2}|0|0)\)\(B(\sqrt{2}|1|0)\) und \(C(0|1|0)\) sowie der Punkt \(D(1|1|0)\). (Als Längeneinheit (LE) wird die Länge der kürzeren Seite des DIN-A4-Blattes verwendet.) Das Blatt wird jetzt entlang der Strecke \(\overline {OD}\) gefaltet. Das Dreieck \(ODC\) bleibt dabei fest, während das Viereck \(OABD\) in das Viereck \(OA'B'D\) übergeht, das wieder in der \(x_1\)-\(x_2\)-Ebene liegt. Die Gegebenheiten sind in den folgenden Schrägbildern dargestellt. Zur Veranschaulichung kann das als Seite 3 beigefügte DIN-A4-Blatt entsprechend gefaltet werden.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    a)

    1. Geben Sie die Koordinaten des Mittelpunktes \(M\) der Strecke \(\overline{OD}\) an.
    2. Zeigen Sie, dass die Gerade \(CM\) senkrecht zur Geraden \(OD\) ist.
    3. Bestimmen Sie den Abstand des Punktes \(C\) von der Geraden \(OD\).
  • Aufgabe 8

    1 Minute 12 Punkte

    b)

    Die Ecke des Blattes, die durch das Falten aus der Position \(A\) in die Position \(A'\) gebracht wird, bewegt sich bei dem Faltvorgang auf einem Halbkreis in einer Ebene \(E\), die senkrecht zur \(x_1\)-\(x_2\)-Ebene ist (siehe Abbildungen 1 bis 3).

    1. Leiten Sie je eine Gleichung dieser Ebene \(E\) in Parameterform und in Koordinatenform her. 
      [Zur Kontrolle: \(E:x_1 + x_2 = \sqrt{2}\)]
    2. Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes \(S\) der Ebene \(E\) mit der Geraden \(OD\).
      [Zur Kontrolle: \(S\left(\frac12\sqrt{2}|\frac12\sqrt{2}|0\right)\)

     


     
  • Aufgabe 9

    1 Minute

    Während des Faltvorgangs wird das beim Falten bewegte Papierviereck auch in die Position des Vierecks \(OA^*B^*D\) gebracht, das in einer sowohl zur \(x_1\)-\(x_2\)-Ebene als auch zur Ebene \(E\) aus b) senkrechten Ebene \(E^*\) liegt (siehe Abbildung 3).

    c)

    1. Leiten Sie eine Gleichung der Ebene \(E^*\) in Parameterform her.
    2. Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes \(A^*\)
  • Aufgabe 10

    1 Minute 19 Punkte

    d)

    1. Begründen Sie, dass das Viereck \(ABDS\) ein Drachenviereck ist. 
    2. Ermitteln Sie den Flächeninhalt des Vierecks \(ABDS\).
  • Aufgabe 11

    1 Minute

    1Im Folgenden wird zur besseren Lesbarkeit nur der Begriff Zuflussrate verwendet; darunter ist stets die momentane Zuflussrate zu verstehen.

    Die Entwicklung der Population einer bestimmten Seevogelart in einem festgelegten Beobachtungsgebiet wird durch folgende Modellannahmen beschrieben:

    Die Überlebensrate der Vögel in den ersten beiden Lebensjahren wird jeweils mit \(0{,}6\) angenommen, in den späteren Lebensjahren mit \(0{,}8\). Die erste Brut findet im 3. Lebensjahr statt, der Bruterfolg wird mit \(0{,}5\) Jungvögeln pro Elternvogel und Jahr angenommen. Die Vögel werden in 3 Altersgruppen eingeteilt, deren Anzahlen

    \(x_1\): Anzahl der Jungvögel im 1. Lebensjahr (Altersgruppe 1)\(x_2\): Anzahl der Vögel im 2. Lebensjahr (Altersgruppe 2)\(x_3\): Anzahl der Altvögel, die älter als 2 Jahre sind (Altersgruppe 3)

    durch jährliche Zählungen ermittelt und jeweils zu einer Verteilung\(\overrightarrow x=\left(\begin{array}{c}x_1\\ x_2\\x_3\end{array}\right)\)
    zusammengefasst werden. (Verteilungsvektoren werden der Einfachheit halber im Folgenden kurz „Verteilung“ genannt.) Die Matrix\(L =\begin{pmatrix}0 & 0 & 0{,}5\\ 0{,}6 & 0 &0 \\0 & 0{,}6& 0{,}8\end{pmatrix}\)
    beschreibt dieses Modell.

    a)

    Die aktuelle Zählung ergibt \(x_1 = 2000\)\(x_2 = 4000\) und \(x_3 = 15.000\).

    1. Berechnen Sie, ausgehend von diesen Zahlen, die Verteilung der Vögel nach einem Jahr und nach 2 Jahren.
    2. Bestimmen Sie die Verteilung der Vögel, die sich aus dem Modell für das Vorjahr ergäbe. 
    3. 5 Elemente der Matrix \(L\) haben den Wert \(0\). Erklären Sie für jedes dieser Elemente aus dem Sachzusammenhang heraus, warum es den Wert \(0\) hat.
  • Aufgabe 12

    1 Minute

    b)

    1. Untersuchen Sie, ob es eine von \(\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\0\end{array}\right)\) verschiedene stationäre Verteilung gibt, d. h. eine Verteilung, die sich innerhalb eines Jahres nicht ändert.
    2. Wenn sich die Population sehr lange nach dem durch die Matrix \(L\) beschriebenen Modell entwickelt, wird sie sich pro Jahr näherungsweise um einen festen Prozentsatz \(p\) verkleinern. Nach \(20\) Jahren wird sie noch aus insgesamt \(17.870\) Vögeln, nach weiteren \(10\) Jahren aus \(15.422\) Vögeln bestehen. 
      Berechnen Sie anhand dieser Angaben einen Näherungswert für den Prozentsatz \(p\).
    3. Langfristig gilt \(p \approx 1{,}462\ \%\). Ermitteln Sie näherungsweise, in wie viel Jahren sich unter dieser Voraussetzung die Population jeweils halbiert.

    Durch Schutzmaßnahmen wird – bei sonst gleichbleibenden Modellannahmen – der Bruterfolg auf die Quote von \(\frac59\) Jungvögel pro Elternvogel und Jahr erhöht.

    1. Zeigen Sie, dass die Verteilung \(\left(\begin{array}{c}5\\ 3\\9\end{array}\right)\) für jede positive ganze Zahl \(n\) eine stationäre Verteilung ist.
    2. Berechnen Sie für eine konkrete stationäre Verteilung aus (4) die prozentualen Anteile jeder der 3 Altersgruppen an der Gesamtzahl der Vögel und zeigen Sie, dass sich für jede stationäre Verteilung aus (4) unabhängig von \(n\) dieselben Anteile ergeben.
  • Aufgabe 13

    1 Minute

    c)

    Die Entwicklung einer Population einer anderen Vogelart ist durch den unten stehenden Übergangsgraphen gegeben, wobei sich die Übergangsquoten wieder auf ein Jahr beziehen.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    1. Geben Sie dazu eine Übergangsmatrix \(M\) an.
    2. Beschreiben Sie anhand des Übergangsgraphen, nach welchen Modellannahmen die Entwicklung der Population dieser anderen Vogelart im Vergleich zur bisher betrachteten Seevogelart abläuft.
  • Aufgabe 14

    1 Minute 12 Punkte

    Das Produkt „Fußball-Bundesliga“ ist ein Erfolgsmodell. Die Zuschauerzahlen erreichten in der Saison 2011/12 einen Rekord von durchschnittlich mehr als  pro Spiel. Dabei ist das Publikum mittlerweile zu  weiblich.

    Dieser Prozentsatz soll im Folgenden als Wahrscheinlichkeit verwendet werden. 

    a)

    Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter \(200\) bei einem Bundesligaspiel zufällig ausgewählten Zuschauern (der Begriff „Zuschauer“ soll stets männliche und weibliche Zuschauer umfassen)

    1. genau \(48\) weibliche Zuschauer befinden.
    2. mindestens \(35\) und höchstens \(60\) weibliche Zuschauer befinden.
    3. eine Anzahl von weiblichen Zuschauern befindet, die um mindestens \(10\) von ihrem Erwartungswert abweicht.
  • Aufgabe 15

    1 Minute 14 Punkte

    b)

    Beschreiben Sie im vorliegenden Sachzusammenhang ein Ereignis \(E\), dessen Wahrscheinlichkeit mit dem Term \(P(E) = 1-\sum_{k = 0}^{300}\binom{1000}{k}\cdot 0,25^k\cdot 0,75^{1000-k}\) berechnet werden kann.

  • Aufgabe 16

    1 Minute 10 Punkte

    c)

    Bei einem Bundesligaspiel strömen  Zuschauer ins Stadion. An weibliche Zuschauer soll ein Flyer verteilt werden, der auf ein spezielles Getränkeangebot hinweist.

    1. Ermitteln Sie auf der Grundlage der  Zuschauer das zum Erwartungswert symmetrische Intervall kleinster Länge, in dem die Anzahl der weiblichen Zuschauer mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens  liegt.
    2. Vor dem Spiel bildet sich an einem Kassenhäuschen eine Schlange von  Zuschauern. Nennen Sie eine Voraussetzung, unter der die Wahrscheinlichkeit , dass sich in der Schlange  weibliche Zuschauer befinden, folgendermaßen berechnet werden kann:
      Entscheiden Sie, ob diese Berechnung in der vorliegenden Situation zulässig ist.
  • Aufgabe 17

    1 Minute 14 Punkte

    d)

    Im Deutschen Fußball-Bund (DFB) sind \(1.077.215\) weibliche Mitglieder gemeldet (gehen Sie davon aus, dass es sich um aktuelle Daten handelt), was einem Anteil von (ungefähr) \(15,84\ \%\) entspricht. Von diesen gehören \(31,78\ \%\) zur Altersklasse „Mädchen“, der Rest zur Altersklasse „Frauen“. Bei den männlichen Mitgliedern unterscheidet man die Altersklasse „Junioren“ und „Senioren“. Insgesamt beträgt der Anteil der Jugendlichen („Mädchen“ und „Junioren“) im DFB \(33,09\ \%\).

    1. Stellen Sie die gegebenen Daten in dem folgenden Baumdiagramm dar und notieren Sie alle fehlenden relativen Häufigkeiten.

     

     

     

     

     

     

     

     

       2.  Beschreiben Sie die relativen Häufigkeiten, die im Diagramm als \(H1\) bzw. \(H2\) bezeichnet werden, mit Worten.

       3.  2 Mitglieder des DFB werden zufällig ausgewählt. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass es sich bei den Personen um einen männlichen Jugendlichen (Junior) und ein Mädchen handelt.

  • Aufgabe 18

    1 Minute

    e)

    Um den Stadionbesuch für weibliche Zuschauer attraktiver zu gestalten, werden für diese an den Imbissständen des Stadions spezielle Angebote gemacht. Der Verkaufsleiter vermutet, dass der Anteil weiblicher Zuschauer sogar auf über  gestiegen ist, sodass er zusätzlich Vorräte für die speziellen Angebote bereitstellen müsste. Er möchte aber unbedingt vermeiden, auf größeren Mengen verderblicher Ware sitzen zu bleiben. Um eine Entscheidung treffen zu können, nutzt er Fotos, die im Rahmen eines Anti-Hooligan-Programms von jedem einzelnen Zuschauer beim Einlass gemacht werden. Er lässt  Fotos zufällig auswählen und in dieser Stichprobe die Anzahl der Fotos bestimmen, die weibliche Zuschauer zeigen.

    1. Der Verkaufsleiter testet die Nullhypothese .  Begründen Sie die Wahl dieser Nullhypothese aus der Sicht des Verkaufsleiters und ermitteln Sie eine Entscheidungsregel für die genannte Stichprobe (Irrtumswahrscheinlichkeit ).
    2. Beschreiben Sie den Fehler 2. Art im Sachzusammenhang und berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit seines Auftretens für den Fall, dass der Anteil der weiblichen Zuschauer tatsächlich  beträgt.
  • Aufgabe 19

    1 Minute

     

  • Aufgabe 20

    1 Minute

     

  • Aufgabe 21

    1 Minute

     

  • Aufgabe 22

    1 Minute

     

  • Aufgabe 23

    1 Minute

     

  • Aufgabe 24

    1 Minute