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Abiturprüfung

Originalprüfung EA 2

Abitur 25 Minuten
  • Aufgabe 1

    1 Minute

    Ein Ölfeld wird seit Beginn des Jahres 1990 mit Bohrungen in mehreren Erdöl führenden Schichten erschlossen. Die momentane Förderrate1 aus diesem Ölfeld im Zeitraum von Anfang 1990 bis Ende 2009 kann im Intervall \( [0;20]\) durch die Funktion \(f\) mit der Gleichung\(f(t)=(1020-40t) \cdot e^{0,1 \cdot t};\quad t \in \mathbb R\)
    modelliert werden. Dabei wird \(t\) als Maßzahl zur Einheit 1 Jahr und \( f(t)\) als Maßzahl zur Einheit 1000 Tonnen pro Jahr aufgefasst. Der Zeitpunkt \( t=0\) entspricht dem Beginn des Jahres 1990. Der Graph von \(f\) ist in der Abbildung 1 in dem für die Modellierung zu betrachtenden Intervall dargestellt.

     


     

     

     

     

     

     

     

     

     

    a)

    1. Bestimmen Sie rechnerisch den Zeitpunkt im betrachteten Zeitraum von Anfang 1990 bis Ende 2009, zu dem die Förderrate maximal ist, und berechnen Sie den Maximalwert.
      [Zur Kontrolle: \(f'(t)=(62-4t) \cdot e^{0,1\cdot t}\)]  

  • Aufgabe 2

    1 Minute

    b)

    Die Menge des Erdöls, das seit dem Beginn der Ölförderung Anfang 1990 bis zu einem beliebigen Zeitpunkt  des betrachteten Zeitraums aus dem Ölfeld gefördert wurde, wird durch eine Funktion  mit  beschrieben.

    1. Bestimmen Sie eine Gleichung dieser Funktion .
      [Zur Kontrolle: Eine Stammfunktion der Funktion  ist die Funktion  mit der Gleichung .]
    2. Berechnen Sie die gesamte Fördermenge aus dem Ölfeld von Anfang 1990 bis Ende 2009.
    3. Ermitteln Sie die Einnahmen aus dem Verkauf des im Jahr 2007 geförderten Erdöls, wenn man von einem Verkaufspreis von 56 Euro pro Barrel im Jahr 2007 ausgeht. 
      1 Barrel Erdöl (ca. ) wiegt ca. .
  • Aufgabe 3

    1 Minute 11 Punkte

    c)

    Seit Anfang des Jahres 2010 schwächt sich der Rückgang der Förderrate ab. Diese soll im Intervall \(]20;40] \) daher durch eine Funktion \(g\) mit der Gleichung\(g(t)=180 \cdot e^{4-0,1\cdot t} + 40 \cdot e^2;\quad t\in \mathbb R\)
    modelliert werden. Dabei wird wieder \(t\) als Maßzahl zur Einheit 1 Jahr und \(g(t)\) als Maßzahl zur Einheit 1000 Tonnen pro Jahr aufgefasst. Der Zeitpunkt \(t=20\) entspricht dem Beginn des Jahres 2010.

    Die Abbildung 2 stellt die Graphen der Funktionen \(f\) und \(g\) in den jeweils für die Modellierung zu betrachtenden Intervallen dar. 

    1. Begründen Sie anhand des Funktionsterms von \(g\), warum die Funktion \(g\) die Förderrate nicht über einen längeren Zeitraum sinnvoll beschreiben könnte.
    2. Der Betreiber kalkuliert, dass die Ölförderung für ihn nur wirtschaftlich ist, wenn innerhalb eines Kalenderjahres mindestens 600.000 Tonnen Öl gefördert werden. Bestimmen Sie das letzte Kalenderjahr, für das die Ölförderung wirtschaftlich sein wird.
      [Zur Kontrolle: Die Fördermenge im Intervall \([T;T+1],\ 20<T \leq 39\), lässt sich durch \(J(T)= 40 \cdot e^2 + 1800 \cdot e^{4-0,1 \cdot T} \cdot (1-e^{-0,1})\) ermitteln.]

     


     
  • Aufgabe 4

    1 Minute 17 Punkte

    d)

    Durch die Funktion  mit der Gleichung  wird die Förderrate von Anfang 1990 bis Ende 2029 beschrieben. Folgende Angaben dürfen ohne Nachweis verwendet werden:

     

     

     

     

    1. Begründen Sie, dass die Funktion  an der Stelle  differenzierbar ist, und entscheiden Sie, ob  dort zweimal differenzierbar ist. 
    2. Begründen Sie, dass  an der Stelle  ein lokales Minimum besitzt. 
  • Aufgabe 5

    1 Minute 10 Punkte

    1 Im Folgenden wird vereinfachend nur der Begriff der Förderrate verwendet, wobei durchgehend die momentane Förderrate gemeint und zu betrachten ist.

    In ein Staubecken oberhalb eines Bergdorfes fließen zwei Bäche. Nach Regenfällen unterschiedlicher Dauer und Stärke können die momentanen Zuflussraten1 aus den beiden Bächen durch Funktionen  für den Bach 1 und  für den Bach 2 und die Gesamtzuflussrate aus den beiden Bächen durch eine Funktion  für einen bestimmten Beobachtungszeitraum modelliert werden. Gegeben sind für  zunächst die Funktionsgleichungen:  

    Dabei fasst man  als Maßzahl zur Einheit  und ,  sowie  als Maßzahlen zur Einheit  auf. Der Beobachtungszeitraum beginnt zum Zeitpunkt  und endet zum Zeitpunkt . Die Graphen von ,  und  sind in der Abbildung dargestellt.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     


     


    a) 

    1. Berechnen Sie die Gesamtzuflussrate aus den beiden Bächen zu Beginn und am Ende des Beobachtungszeitraums.
    2. Zeigen Sie, dass für die Funktion \(g_a\), die die Zuflussrate aus Bach 2 beschreibt, gilt:\(g_a(t)= \frac 1 4 t^3 - 4a\cdot t^2 + 15 a^2 \cdot t + 400\)
    3. Begründen Sie, dass unabhängig vom Parameter \( a\text{ }(a>0)\) die Zuflussrate aus Bach 2 für alle \(t\in [0;6a]\) größer ist als die Zufallsrate aus Bach 1.
    4. Bestimmen Sie in Abhängigkeit von \(a\) den Zeitpunkt \(t_m \in [0;6a]\), zu dem die Gesamtzuflussrate ihr Maximum annimmt. 
  • Aufgabe 6

    1 Minute 8 Punkte

    b)

    1. Bestimmen Sie die Wendestelle der Funktion \(h_a\).
    2. Bestimmen Sie den Zeitpunkt des Beobachtungszeitraums, zu dem sich die Gesamtzuflussrate am stärksten ändert.
    3. Geben Sie nun die Bedeutung der Wendestelle aus (1) im Sachzusammenhang an. 
  • Aufgabe 7

    1 Minute

    c)

    Im Folgenden sei \(a=4\)\(h_4(t)= \frac 1 2 t^3 - 28 t^2 + 384t + 740\)\(t \in [0;24]\). Zum Zeitpunkt \(t=0\) kann das Staubecken noch \(20.000 \,\mathrm{m^3}\) Wasser aufnehmen. 

    1. Entscheiden Sie, ob das Staubecken das gesamte Wasser aus den beiden Bächen während der 24 Stunden des Beobachtungszeitraums aufnehmen könnte. 
    2. Die Gleichung \(\int_{0}^{b} h_4(t)\mathrm{d}t=20.000\) hat die (positive) Lösung \(b \approx 10{,}65\).
      Geben Sie die Bedeutung dieser Lösung im Sachzusammenhang an.
    3. Um ein Überlaufen des Staubeckens zu verhindern, wird zum Zeitpunkt \(t=10 \) ein vorher verschlossener Notablauf geöffnet. Durch diesen fließt Wasser mit einer konstanten Abflussrate von \(2.000\,\frac{ \text{m}^3}{ \text{h} }\) aus dem Staubecken ab. Der Notablauf bleibt bis zum Ende des Beobachtungszeitraums geöffnet. Ohne Nachweis darf verwendet werden, dass die Gesamtzuflussrate für \(10\leq 1 \leq 14\) größer und für \(14<t\leq 24\)  kleiner als \(2.000\, \frac{ \text{m}^3}{ \text{h} }\) ist (vgl. Abbildung).
      Untersuchen Sie, ob das Staubecken innerhalb des Beobachtungszeitraums überläuft. 
  • Aufgabe 8

    1 Minute

    1 Im Folgenden wird zur besseren Lesbarkeit nur der Begriff Zuflussrate verwendet; darunter ist stets die momentane Zuflussrate zu verstehen. 

    Gegeben ist die Funktion  mit der Gleichung , . Der Graph der Funktion  wird in der Abbildung dargestellt. 

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    a)

    1. Begründen Sie, dass der Graph der Funktion \(f\) symmetrisch zum Ursprung ist.
    2. Berechnen Sie die Nullstellen der Funktionen \(f\) und \(f'\). Untersuchen Sie, an welchen Stellen ein lokales Maximum bzw. Minimum der Funktion \(f\) vorliegt.
      [Zur Kontrolle: \(f'(x)= (8-4x^2) \cdot e^{-0,25x^2}\)]
    3. Zeigen Sie, dass die Funktion \(f\) genau 3 verschiedene Wendestellen besitzt. 
      [Zur Kontrolle: \(f''(x)= x \cdot (2x^2 - 12 ) \cdot e^{-0,25x^2}\)]
  • Aufgabe 9

    1 Minute 21 Punkte

    b)

    Gegeben ist die Ursprungsgerade \(g_m\) mit der Gleichung \(​g_m(x)=m \cdot x\)\(x \in \mathbb R\), wobei \(m\) eine positive reelle Zahl ist. 

    1. Beweisen Sie: Genau für \(m<8\) schneidet die Gerade \(g_m\) den Graphen der Funktion \(g_m\) im I. Quadranten im Ursprung \(0\) und in einem davon verschiedenen Punkt \(P \)
    2. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes \(P\)
      [Zur Kontrolle: \(P\) besitzt die \(x\)-Koordinate \(2 \cdot \sqrt{\ln \frac 8 m }\).]
  • Aufgabe 10

    1 Minute 15 Punkte

    c)

    1. Zeigen Sie, dass die Funktion \(F\) mit der Gleichung\(F(x)=-16 \cdot e ^{-0,25x^2};\quad x \in \mathbb R\)
      eine Stammfunktion der Funktion \(f\) ist.
    2. Es sei \(h\) die Ursprungsgerade mit der Gleichung \(h(x)=4 \cdot x\)\(x \in \mathbb R\). Erklären Sie, dass die Gerade \(h\) und der Graph der Funktion \(f\) im I. Quadranten eine Fläche einschließen. Ermitteln Sie den Inhalt dieser Fläche.
  • Aufgabe 11

    1 Minute 14 Punkte

    d)

    Man betrachtet den Graphen der Funktion . Die Punkte  und  seien wie in b) (1) definiert. Zusätzlich sei der Punkt  die senkrechte Projektion des Punktes  auf die -Achse. 

    1. Zeigen Sie: Der Flächeninhalt des Dreiecks  ist:
    2. Untersuchen Sie, für welche  der Flächeninhalt des Dreiecks  maximal wird.
  • Aufgabe 12

    1 Minute

    Ein Blatt DIN-A4-Papier liegt in der \(x_1\)\(x_2\)-Ebene. Gegeben sind seine Eckpunkte \(O \left( 0 | 0 | 0 \right)\)\(A \left( \sqrt 2 | 0 | 0 \right)\)\(B \left( \sqrt 2 | 1 | 0 \right)\) und \(C \left( 0 | 1 | 0 \right) \) sowie der Punkt \(D \left( 1 | 1 | 0 \right)\). (Als Längeneinheit (LE) wird die Länge der kürzeren Seite des DIN-A4-Blattes verwendet.)

    Das Blatt wird jetzt entlang der Strecke \(\overline{OD}\) gefaltet. Das Dreieck \(ODC\) bleibt dabei fest, während das Viereck \(OABD\) in das Viereck \(OA'B'D\) übergeht, das wieder in der \(x_1\)\(x_2\)-Ebene liegt. Die Gegebenheiten sind in den folgenden Schrägbildern dargestellt. Zur Veranschaulichung kann das als Seite 4 beigefügte DIN-A4-Blatt entsprechend gefaltet werden.

     


     

     

     

     

     

     

     

    a)

    Bestimmen Sie den Abstand des Punktes \(B\) von der Geraden \(OD\).

  • Aufgabe 13

    1 Minute

    b)

    1. Leiten Sie je eine Gleichung dieser Ebene \(E\) in Parameterform und in Normalenform her. 
      [Zur Kontrolle eine Koordinatengleichung: \(E: x_1+x_2 = \sqrt 2\)]
    2. Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes \(S\) der Ebene \(E\) mit der Geraden \(OD\).
      [Zur Kontrolle: \(S \left( \frac 1 2 \sqrt 2 \middle| \frac 1 2 \sqrt 2 \middle| 0 \right)\)]
  • Aufgabe 14

    1 Minute 17 Punkte

    c)

    Während des Faltvorgangs liegt das beim Falten bewegte Papierviereck stets in einer Ebene \(E_k\) der durch \( E_k: x_y - x_2 + k \cdot x_3 = 0\)\(k \in \mathbb R\), gegebenen Ebenenschar. Vorher und nachher liegt es jeweils in der \(x_1\)\(x_2\)-Ebene (siehe Abbildungen 1 bis 4).

    1. Weisen Sie rechnerisch nach, dass die Gerade \(OD\) in jeder Ebene \(E_k\) der Ebenenschar liegt.
    2. Begründen Sie, dass die Ebene \(E\) aus b) senkrecht zu jeder Ebene \(E_k\)\(k \in \mathbb R\), ist. 

    Während des Faltvorgangs wird das beim Falten bewegte Papierviereck auch in die Position des Vierecks \(OA^*B^*D\) gebracht, das in einer sowohl zur \(x_1\)\(x_2\)-Ebene als auch zur Ebene \(E\) senkrechten Ebene \(E^*\) liegt (siehe Abbildung 3).

    1. Berechnen Sie den Wert des Parameters \(k\), für den \(E_k=E^*\) ist.
    2. Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes \(A^*\).

     


     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
  • Aufgabe 15

    1 Minute 9 Punkte

    d)

    Während des Faltvorgangs kommt das beim Falten bewegte Papierviereck auch in die Position des Vierecks \(OA''B''D\), dessen Punkt \(A''\) in der Ebene \(x_2=1\) liegt. 

    1. Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes \(A''\).
      [Zur Kontrolle: \(A'' \left( \sqrt 2 - 1 \middle| 1 \middle| \sqrt{2\sqrt 2 -2} \right)\)]
    2. Zeigen Sie, dass das Dreieck \(OCA''\) gleichschenklig rechtwinklig ist.

     


     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
  • Aufgabe 16

    1 Minute 12 Punkte

    Die Entwicklung der Population einer bestimmten Seevogelart in einem festgelegten Beobachtungsgebiet wird durch folgende Modellannahmen beschrieben:

    Die Überlebensrate der Vögel in den ersten beiden Lebensjahren wird jeweils mit \(0{,}6\) angenommen, in den späteren Lebensjahren mit \(0{,}8\). Die erste Brut findet im 3. Lebensjahr statt, der Bruterfolg wird mit \(0{,}5\) Jungvögeln pro Elternvogel und Jahr angenommen. Die Vögel werden in 3 Altersgruppen eingeteilt, deren Anzahlen

    \(x_1\): Anzahl der Jungvögel im 1. Lebensjahr (Altersgruppe 1)\(​x_2\): Anzahl der Vögel im 2. Lebensjahr (Altersgruppe 2)\(​x_3\): Anzahl der Altvögel, die älter als 2 Jahre sind (Altersgruppe 3)

    durch jährliche Zählungen ermittelt und jeweils zu einer Verteilung \(\vec{x}=\left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right)\) zusammengefasst werden (Verteilungsvektoren werden der Einfachheit halber im Folgenden kurz „Verteilung“ genannt). Die Matrix \( L=\left(\begin{array}{c} 0 & 0 & 0{,}5 \\ 0{,}6 & 0 & 0 \\ 0 & 0{,}6 & 0{,}8 \\ \end{array}\right)\) beschreibt dieses Modell.

    a)

    Die aktuelle Zählung ergibt \(x_1=2000\)\(x_2=4000\) und \(x_3=15.000\).

    1. Berechnen Sie, ausgehend von diesen Zahlen, die Verteilung der Vögel nach einem Jahr und nach 2 Jahren. 
    2. Bestimmen Sie die Verteilung der Vögel, die sich aus dem Modell für das Vorjahr ergäbe. 
    3. Fünf Elemente der Matrix \(L\) haben den Wert \(0\). Erklären Sie für jedes dieser Elemente aus dem Sachzusammenhang heraus, warum es den Wert \(0\) hat. 
  • Aufgabe 17

    1 Minute 12 Punkte

    b)

    1. Sei  die Verteilung in einem beliebigen Jahr und 
      die Verteilung 2 Jahre danach.
      Zeigen Sie: .
      Begründen Sie nun: Schon ab dem 1. Jahr nach der aktuellen Zählung aus a) ist die Anzahl der Vögel der Altersgruppe 1 stets größer oder gleich der Anzahl der Vögel der Altersgruppe 2.
    2. Untersuchen Sie, ob es eine von  verschiedene stationäre Verteilung gibt.
    3. Wenn sich die Population sehr lange nach dem durch die Matrix  beschriebenen Modell entwickelt, wird sie sich pro Jahr näherungsweise um einen festen Prozentsatz  verkleinern. Nach  Jahren wird sie noch aus insgesamt  Vögeln, nach weiteren  Jahren aus  Vögeln bestehen.
      Berechnen Sie anhand dieser Angaben einen Näherungswert für den Prozentsatz .
    4. Durch Schutzmaßnahmen könnte – bei sonst gleichbleibenden Entwicklungsbedingungen – der Bruterfolg gegenüber der bisherigen Quote von  Jungvögel pro Elternvogel und Jahr erhöht werden. 
      Ermitteln Sie, wie groß die Quote  des Bruterfolgs sein müsste, damit sich langfristig eine stationäre Verteilung  einstellen würde, und berechnen Sie den Anteil jeder der 3 Altersgruppen an der Gesamtzahl der Vögel einer solchen stationären Verteilung.
      [Zur Kontrolle: ]
  • Aufgabe 18

    1 Minute

    c)

    Es wird vorgeschlagen, bei der Entwicklung der gegebenen Population von Seevögeln bei sonst identischen Modellannahmen 4 Altersgruppen zu unterscheiden, deren Anzahlen ebenfalls bei jährlichen Zählungen ermittelt werden.

    : Anzahl der Jungvögel im 1. Lebensjahr (Altersgruppe 1)
    : Anzahl der Vögel im 2. Lebensjahr (Altersgruppe 2)
    : Anzahl der Vögel im 3. Lebensjahr (Altersgruppe 3)
    : Anzahl der Altvögel, die älter als 3 Jahre sind (Altersgruppe 4)

    Geben Sie eine -Matrix  an, die diesem Modellierungsansatz entspricht.                             

  • Aufgabe 19

    1 Minute

    d)

    Die Entwicklung einer Population einer anderen Vogelart ist durch den folgenden Übergangsgraphen gegeben, wobei sich die Übergangsquoten wieder auf ein Jahr beziehen.

     

    1. Geben Sie dazu eine Übergangsmatrix  an.
    2. Beschreiben Sie anhand des Übergangsgraphen, nach welchen Modellannahmen die Entwicklung der Population dieser anderen Vogelart im Vergleich zur bisher betrachteten Seevogelart abläuft. 
  • Aufgabe 20

    1 Minute 8 Punkte

    Das Produkt „Fußball-Bundesliga“ ist ein Erfolgsmodell. Die Zuschauerzahlen erreichten in der Saison 2011/12 einen Rekord von durchschnittlich mehr als  pro Spiel. Dabei ist das Publikum mittlerweile zu  weiblich. Dieser Prozentsatz soll im Folgenden als Wahrscheinlichkeit verwendet werden. 


    a)

    Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter  bei einem Bundesligaspiel zufällig ausgewählten Zuschauern (der Begriff „Zuschauer“ soll stets männliche und weibliche Zuschauer umfassen)

    1. genau  weibliche Zuschauer befinden.
    2. mindestens  und höchstens  weibliche Zuschauer befinden.
    3. eine Anzahl von weiblichen Zuschauern befindet, die um mindestens  von ihrem Erwartungswert abweicht.
  • Aufgabe 21

    1 Minute 11 Punkte

    b)

    Bei einem Bundesligaspiel strömen  Zuschauer ins Stadion. An weibliche Zuschauer soll ein Flyer verteilt werden, der auf ein spezielles Getränkeangebot hinweist.

    1. Ermitteln Sie auf der Grundlage der  Zuschauer das zum Erwartungswert symmetrische Intervall kleinster Länge, in dem die Anzahl der weiblichen Zuschauer mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens  liegt.
    2. Vor dem Spiel bildet sich an einem Kassenhäuschen eine Schlange von  Zuschauern. Nennen Sie eine Voraussetzung, unter der die Wahrscheinlichkeit , dass sich in der Schlange  weibliche Zuschauer befinden, folgendermaßen berechnet werden kann:
      Entscheiden Sie, ob diese Berechnung in der vorliegenden Situation zulässig ist. 
  • Aufgabe 22

    1 Minute 18 Punkte

    c)

    Im Deutschen Fußball-Bund (DFB) sind  weibliche Mitglieder gemeldet (gehen Sie davon aus, dass es sich um aktuelle Daten handelt), was einem Anteil von (ungefähr)  entspricht. Von diesen gehören  zur Altersklasse „Mädchen“, der Rest zur Altersklasse „Frauen“. Bei den männlichen Mitgliedern unterscheidet man die Altersklassen „Junioren“ und „Senioren“. Insgesamt beträgt der Anteil der Jugendlichen („Mädchen“ und „Junioren“) im DFB .

    1. Berechnen Sie den Anteil der „Mädchen“ im DFB. 
    2. Ermitteln Sie den Anteil der „Senioren“ im DFB.
      .
      Berechnen Sie näherungsweise die Anzahl der „Senioren“ im DFB.
    3. Zwei Mitglieder des DFB werden zufällig ausgewählt. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass es sich bei den beiden Personen um einen „Junior“ und einen „Senior“ handelt. 
  • Aufgabe 23

    1 Minute 13 Punkte

    d)

    Um den Stadionbesuch für weibliche Zuschauer attraktiver zu gestalten, werden für diese an den Imbissständen des Stadions spezielle Angebote gemacht. Der Verkaufsleiter vermutet, dass der Anteil weiblicher Zuschauer sogar auf über  gestiegen ist, sodass er zusätzliche Vorräte für die speziellen Angebote bereitstellen müsste. Er möchte aber unbedingt vermeiden, auf größeren Mengen verderblicher Ware sitzen zu bleiben.

    Um eine Entscheidung treffen zu können, nutzt er Fotos, die im Rahmen eines Anti-Hooligan-Programms von jedem einzelnen Zuschauer beim Einlass gemacht werden. Er lässt  Fotos zufällig auswählen und in dieser Stichprobe die Anzahl der Fotos bestimmen, die weibliche Zuschauer zeigen.

    1. Ermitteln Sie aus der Sicht des Verkaufsleiters einen passenden Hypothesentest für die genannte Stichprobe und begründen Sie die Wahl der Nullhypothese (Irrtumswahrscheinlichkeit ). 
    2. Beschreiben Sie den Fehler 2. Art im Sachzusammenhang und berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit seines Auftretens für den Fall, dass der Anteil der weiblichen Zuschauer tatsächlich  beträgt. 
    3. Die  Helfer, die die Fotos auswerten, haben jeweils 125 Fotos zufällig ausgewählt. Sie haben folgende Regel aufgestellt: Zählen mindestens  der  Helfer unter den  Fotos mehr als  Fotos weiblicher Zuschauer, so halten sie die Vermutung des Verkaufsleiters für bestätigt.  Beschreiben Sie ein Verfahren, mit dem sich die maximale Wahrscheinlichkeit ermitteln lässt, mit der diese Regel zu einer falschen Entscheidung führt, und begründen Sie die einzelnen Schritte. (Sie brauchen die Rechnungen nicht durchzuführen.) Gehen Sie dabei von der Voraussetzung aus, dass höchstens  weibliche Zuschauer ins Stadion kommen.