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Aufgabe 1
Jeder Einwohner von Phantasia entscheidet sich monatlich neu für eine der Haarfarben rot (r), schwarz (s) oder braun (b). Die nebenstehende Übergangsmatrix \(M\) beschreibt modellhaft dieses Wechselverhalten von einem Monat zum nächsten. Es wird vorausgesetzt, dass sich dieses Wechselverhalten nicht ändert. Die Anteile der Bevölkerung mit den verschiedenen Haarfarben werden durch folgenden Verteilungsvektor beschrieben:
\(\\ \vec h=\begin{pmatrix}r\\s\\b\end{pmatrix}\)\(\qquad\qquad r\qquad\ s \qquad\ b\\M=\begin{pmatrix}0,5&0,25&0\\0,5&0,5&0,5\\0&0,25&0,5 \end{pmatrix}\begin{array}\\r\\s\\b\end{array}\)
a) Erläutern Sie die Bedeutung aller Werte in der linken Spalte der Übergangsmatrix \(M\) im Sachzusammenhang. Angenommen, die Anteile der Bevölkerung mit den verschiedenen Haarfarben im Juni werden beschrieben durch:
\(\vec h_j=\begin{pmatrix}0\\0\\1 \end{pmatrix}\)
Bestimmen Sie die Bevölkerungsanteile mit roten, schwarzen bzw. braunen Haaren für den Monat September desselben Jahres.
Bestimmen Sie einen Verteilungsvektor so, dass die Bevölkerungsanteile von Monat zu Monat gleich bleiben.(11 BE)
b) Ein anderes Wechselverhalten der Bevölkerung wird durch die nebenstehende Matrix \(N\) beschrieben. Entscheiden Sie für jeden der folgenden Fälle, ob eine Matrix \(N\) angegeben werden kann:
- Braunhaarige Einwohner haben im Folgemonat nie rote Haare.
- Alle Einwohner werden langfristig rote Haare haben.
\(\qquad\qquad\ r\ \ \quad\quad s \qquad\quad b\\N=\begin{pmatrix}u&0,5&0,6-w\\1-u&0&2\cdot w\\0&0,5&0,4-w \end{pmatrix}\begin{array}\\r\\s\\b\end{array}\)
(6 BE)
Abiturprüfung
Mathematik
Abitur