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Abiturprüfung

Originalprüfung 2015 Gesamtprüfung

Abitur 35 Minuten
  • Aufgabe 1

    1 Minute 2 Punkte

    Pflichtteil Aufgabe 1

    Bilden Sie die Ableitung der Funktion \(f\) mit \(f(x)=\left(4+\text{e}^{3x}\right)^5\).(2 VP)

  • Aufgabe 2

    1 Minute 2 Punkte

    Berechnen Sie das Integral \(\int\limits_0^\pi \left\{(4x+\sin\left(\frac{1}{2}x\right)\right\}\text{d}x\).(2 VP)

  • Aufgabe 3

    1 Minute 3 Punkte

    Lösen Sie die Gleichung \((x^3-3x)\cdot(\text{e}^{2x}-5)=0\).(3 VP)

  • Aufgabe 4

    1 Minute 4 Punkte

    Der Graph einer ganzrationalen Funktion \(f\) dritten Grades hat im Ursprung einen Hochpunkt und an der Stelle \(x = 2\) die Tangente mit der Gleichung \(y = 4x −12\). Bestimmen Sie eine Funktionsgleichung von \(f\).(4 VP)

  • Aufgabe 5

    1 Minute 3 Punkte

    Die Abbildung zeigt den Graphen der Ableitungsfunktion \(f'\) einer ganzrationalen Funktion \(f\). Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Begründen Sie jeweils Ihre Antwort.

    1. Der Graph von \(f\) hat bei \(x = -3\) einen Tiefpunkt.
    2. \(f(-2) < f(-1)\)
    3. \(f''(−2) + f'(−2) < 1\)
    4. Der Grad der Funktion \(f\) ist mindestens vier.

    (5 VP)

     

  • Aufgabe 6

    1 Minute 4 Punkte

    Gegeben sind die drei Punkte \(A(4/0/4)\)\(B(0/4/4)\) und \(C(6/6/2)\).

    1. Zeigen Sie, dass das Dreieck \(ABC\) gleichschenklig ist.
    2. Bestimmen Sie die Koordinaten eines Punktes, der das Dreieck \(ABC\) zu einem Parallelogramm ergänzt. Veranschaulichen Sie durch eine Skizze, wie viele solcher Punkte es gibt.

    (4 VP)

  • Aufgabe 7

    1 Minute 3 Punkte

    Gegeben ist die Ebene \(E:\;4x_1 + 3x_3 = 12\).

    1. Stellen Sie \(E\) in einem Koordinatensystem dar.
    2. Bestimmen Sie alle Punkte der \(x_3\)-Achse, die von \(E\) den Abstand 3 haben.

    (3 VP)

  • Aufgabe 8

    1 Minute 4 Punkte

    Ein Glücksrad hat drei farbige Sektoren, die beim einmaligen Drehen mit folgenden Wahrscheinlichkeiten angezeigt werden:

    Rot: 20%   Grün: 30%   Blau: 50% Das Glücksrad wird \(n\)-mal gedreht.Die Zufallsvariable \(X\) gibt an, wie oft die Farbe Rot angezeigt wird.

    1. Begründen Sie, dass \(X\) binomialverteilt ist. Die Tabelle zeigt einen Ausschnitt der Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(X\):
      \(k\) 0 1 2 3 4 5 6 7 ...
      \(P (X=k)\) 0,01 0,06 0,14 0,21 0,22 0,17 0,11 0,05 ...
    2. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens dreimal Rot angezeigt wird.
    3. Entscheiden Sie, welcher der folgenden Werte von \(n\) der Tabelle zugrunde liegen kann:  20, 25 oder 30 Begründen Sie Ihre Entscheidung.

    (4VP)

  • Aufgabe 9

    1 Minute 3 Punkte

    Mit \(V=\pi\cdot\int\limits_0^4\left(4-\frac{1}{2}x\right)^2\text{d}x\) wird der Rauminhalt eines Körpers berechnet.  Skizzieren Sie diesen Sachverhalt und beschreiben Sie den Körper. (3 VP)

  • Aufgabe 10

    1 Minute

    Wahlteil, Analysis Aufgabe 1

    Der Laderaum eines Lastkahns ist 50 m lang. Sein Querschnitt ist auf der gesamten Länge gleich und wird modellhaft beschrieben durch den Graphen der Funktion \(f\) mit\(f(x)=\frac{1}{125}x^4\;;\quad -5\le x\le 5 \quad(x\text{ und }f(x)\text{ in Meter}).\)

     
  • Aufgabe 11

    1 Minute 5 Punkte

    Wie tief ist der Laderaum in der Mitte?  Wie breit ist er in 3 m Höhe? In welchem Bereich hat der Boden des Laderaums eine Neigung unter 5%? Berechnen Sie das Volumen des Ladraums.(5 VP)

  • Aufgabe 12

    1 Minute 3 Punkte

    Zur Wartung steht der Lastkahn an Land auf einer ebenen Plattform. Dort wird er stabilisiert durch gerade Stützen, die orthogonal zur Außenwand des Laderaums angebracht sind. Betrachtet werden zwei einander gegenüberliegende Stützen, deren Befestigungspunkte im Modell durch die Punkte \(P_1 (-4/ f(-4))\) und \(P_2 (4/f(4)) \) beschrieben werden. In welchem Abstand voneinander enden diese Stützen auf der Plattform?(3 VP)

  • Aufgabe 13

    1 Minute 4 Punkte

    Der Laderaum kann durch eine horizontale Zwischendecke der Länge 50 m in zwei Teilräume geteilt werden. Das Volumen des unteren Teilraums beträgt 500 m³. Berechnen Sie die Breite der Zwischendecke.(4 VP)

  • Aufgabe 14

    1 Minute 3 Punkte

    Untersuchen Sie, ob sich eine zylinderförmige Röhre mit Außendurchmesser 9,8 m  so in Längsrichtung in den Laderaum legen lässt, dass sie ihn an der tiefsten Stelle berührt. (3 VP)

  • Aufgabe 15

    1 Minute

    Die Entwicklung einer Population in den Jahren 1960 bis 2020 lässt sich durch zweiFunktionen modellhaft beschreiben. Die Funktion \(g\) mit \(g(t)=400+20 \cdot (t+1)^2\cdot\text{e}^{-0,1t}\) beschreibt die Geburtenrate und die Funktion \(s\) mit \(s(t)=600+10\cdot(t-6)^2\cdot\text{e}^{-0,09t}\) beschreibt die Sterberate der Population (\(t\) in Jahren seit Beginn des Jahres 1960, \(g(t)\) und \(s(t)\) in Individuen pro Jahr). 

  • Aufgabe 16

    1 Minute 4 Punkte

    Bestimmen Sie die geringste Sterberate. In welchem Jahr war die Differenz aus Geburten- und Sterberate am größten? Bestimmen Sie den Zeitraum, in dem die Population zugenommen hat.(4 VP)

  • Aufgabe 17

    1 Minute 3 Punkte

    Zu Beginn des Jahres 1960 bestand die Population aus 20.000 Individuen. Berechnen Sie den Bestand der Population zu Beginn des Jahres 2017. In welchem Jahr erreichte die Population erstmals wieder den Bestand von 1960?(3 VP)

  • Aufgabe 18

    1 Minute

    Betrachtet wird nun das Größenwachstum eines einzelnen Individuums der Population. Dies kann im Beobachtungszeitraum durch das Gesetz des beschränkten Wachstums modelliert werden. Man geht davon aus, dass dieses Individuum in ausgewachsenem Zustand 0,8 m groß ist. Zu Beobachtungsbeginn betragen seine Größe 0,5 m und seine momentane Wachstumsgeschwindigkeit 0,15 m pro Jahr. 

  • Aufgabe 19

    1 Minute 4 Punkte

    Bestimmen Sie eine Gleichung einer Funktion, die die Körpergröße des Individuums in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt.  Wie viele Jahre nach Beobachtungsbeginn hat die Körpergröße des Individuums um 50% zugenommen ?(4 VP)

  • Aufgabe 20

    1 Minute 4 Punkte

    Gegeben sind ein Kreis mit Mittelpunkt \(O(0/0)\) und die Funktion \(f\) mit \(f(x)=\frac{4}{x^2+1}\). Bestimmen Sie die Anzahl der gemeinsamen Punkte des Kreises mit dem Graphen von \(f\) in Abhängigkeit von Kreisradius.(4 VP) 

  • Aufgabe 21

    1 Minute

    Geometrie/Stochastik Aufgabe B 1.1

    Über einer Terrasse ist als Sonnenschutz eine Markise an einer Hauswand befestigt. In einem Koordinatensystem stellen die Punkte \(P(0/0/0)\)\(Q(5/0/0)\)\(R(5/4/0)\)\(S(0/4/0)\) die Eckpunkte der Terrasse dar. Die Markise wird durch das Rechteck mit den Eckpunkten \(A(0/0/4)\)\(B(5/0/4)\)\(C(5/3,9/2,7)\)\(D(0/3,9/2,7)\) beschrieben (alle Koordinatenangaben in Meter). Die Lage der Hauswand wird durch die \(x_1x_3\)−Ebene beschrieben. 

     
  • Aufgabe 22

    1 Minute 3 Punkte

    Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene, welche die Lage der Markise beschreibt. Berechnen Sie den Winkel zwischen Markise und Hauswand. (3 VP)

  • Aufgabe 23

    1 Minute 4 Punkte

    In der Mitte zwischen \(Q\) und \(R\) steht eine 30cm hohe Stehlampe. Am Markisenrand \(CD\) wird ein senkrecht nach unten hängender Regenschutz angebracht, der genau bis auf  die Terrasse reicht. Bei starkem Wind schwingt er frei um \(CD\). Kann der Regenschutz dabei die Stehlampe berühren? Welchen Abstand von der Hauswand darf die Stehlampe auf der Terrasse höchstens haben, damit dies nicht passiert?(4 VP)

  • Aufgabe 24

    1 Minute 4 Punkte

    Die Sonne scheint und der Regenschutz wird entfernt. Die Richtung der Sonnenstrahlen wird durch den Vektor \(\vec{v}=\left(\begin{array}{c}1\\-1\\-3\end{array}\right)\) beschrieben.  

    Begründen Sie ohne Rechnung, dass die Terrasse nicht vollständig beschattet wird. Die Markise kann ein- und ausgefahren werden. Dabei bewegen sich die äußeren Eckpunkte der Markise längs der Geraden \(BC\) und \(AD\). Die Markise wird nun so weit eingefahren, dass der Terrassenrand zwischen \(Q\) und \(R\) genau zur Hälfte im Schatten liegt.  Bestimmen Sie die neuen Koordinaten der äußeren Eckpunkte der Markise.(4 VP)

  • Aufgabe 25

    1 Minute 4 Punkte

    Ein Großhändler gibt an, dass sein Weizensaatgut eine Keimfähigkeit von mindestens 80% hat. Mehrere Kunden vermuten, dass die Keimfähigkeit in Wirklichkeit kleiner ist. Deswegen wird die Aussage des Großhändlers mit Hilfe eines Tests auf einem Signifikanzniveau von 10% überprüft, indem 500 Weizenkörner untersucht werden. Als Nullhypothese wird die Angabe des Großhändlers verwendet.  Formulieren Sie die zugehörige Entscheidungsregel in Worten.

    Die tatsächliche Keimfähigkeit des Saatguts beträgt 82%.  Wie groß ist in diesem Fall die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei obigem Test die Nullhypothese fälschlicherweise verworfen wird?(4 VP) 

  • Aufgabe 26

    1 Minute

    Gegeben sind die Ebene \(E:\;3x_1+6x_2+4x_3=16\) und eine Geradenschar durch \(g_a:\;\vec{x}=\left(\begin{array}{c}5\\1\\1\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}a\\1\\0\end{array}\right);\;a\in\mathbb{R}.\)

  • Aufgabe 27

    1 Minute 3 Punkte

    Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Geraden \(g_4\) mit der Ebene \(E\).  Welche Gerade der Schar ist orthogonal zu \(g_4\)?(3 VP) 

  • Aufgabe 28

    1 Minute 3 Punkte

    Berechnen Sie den Schnittwinkel von \(g_4\) und \(E\).  Für welche Werte von \(a\) mit \(-10\le a\le 10\) hat der Schnittwinkel von \(g_4\) und \(E\) die Weite 10°? (3 VP)

  • Aufgabe 29

    1 Minute 3 Punkte

    Berechnen Sie den Schnittwinkel von \(g_4\) und \(E\).  Für welche Werte von \(a\) mit \(-10\le a\le 10\) hat der Schnittwinkel von \(g_4\) und \(E\) die Weite 10°? (3 VP)

  • Aufgabe 30

    1 Minute

    Bei einem Biathlonwettbewerb läuft ein Athlet eine 2,5 km lange Runde, dann schießt er liegend fünf Mal; anschließend läuft er eine zweite Runde und schießt stehend fünf Mal; nach einer dritten Runde erreicht er das Ziel. Für jeden Fehlschuss muss er direkt nach dem Schießen eine 200 m lange Strafrunde laufen. Aufgrund der bisherigen Schießleistungen geht der Trainer davon aus, dass der Athlet stehend mit 88% und liegend mit 93% Wahrscheinlichkeit trifft. Es wird vereinfachend davon ausgegangen, dass die Ergebnisse der einzelnen Schüsse voneinander unabhängig sind.

  • Aufgabe 31

    1 Minute 1 Punkte

    Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Athlet stehend bei fünf Schüssen genau vier Mal trifft.(1 VP)

  • Aufgabe 32

    1 Minute 3 Punkte

    Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Athlet im gesamten Wettbewerb höchstens einmal eine Strafrunde laufen muss. (3 VP)

  • Aufgabe 33

    1 Minute 2 Punkte

    Der Athlet möchte seine Leistungen im Stehendschießen verbessern und künftig mit über 95% Wahrscheinlichkeit bei fünf Schüssen mindestens vier Mal treffen.  Welche Trefferwahrscheinlichkeit muss er dafür mindestens erreichen? (2 VP)