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Abiturprüfung

Originalprüfung 2015 Gesamtklausur Teil A

Abitur 20 Minuten
  • Aufgabe 1

    1 Minute

    Analysis, Teil 1 Aufgabe 1

    Gegeben ist die Funktion \(f:x \mapsto (x^3-8) \cdot (2+\text{ln}\ x)\) mit maximalen Definitionsbereich \(D\).

    a) Geben Sie \(D\) an. 

    b) Bestimmen Sie die Nullstellen von \(f\)

  • Aufgabe 2

    1 Minute

    Gegeben sind die in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(f,\ g\) und  \(h\) mit \(f(x)= x^2-x+1,\ g(x)=x^3-x+1\) und \(h(x)=x^4+x^2+1\).

     

     

    a) Abbildung 1 zeigt den Graphen einer der drei Funktionen. Geben sie an, um welche Funktion es sich handelt. Begründen Sie, dass der Graph die anderen beiden Funktionen nicht darstellt.

    b) Die erste Ableitungsfunktion von \(h\) ist \(h'\).

    Bestimmen die den Wert von \(\int_0^1 {h'(x) \ \mathrm{d}x}\)

     

     

  • Aufgabe 3

    1 Minute

    a) Geben Sie einen positiven Wert für den Parameter \(a\) an, sodass die in \(\mathbb{R}\) definierte Funktion \(f:x\mapsto \mathrm {sin}(ax)\) eine Nullstelle in \(x= \frac\pi 6\) hat.

    b) Ermitteln Sie den Wert des Parameters \(b\), sodass die Funktion \(g:x\mapsto \sqrt{x^2-b}\) den maximalen Definitionsbereich \(\mathbb{R} \backslash \left]-2;2\right[\) besitzt.

    c) Erläutern Sie, dass die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(h: x \mapsto 4-e^x\) den Wertebereich \(] - \infty;4[\) besitzt.

  • Aufgabe 4

    1 Minute

    Abbildung 2 zeigt den Graphen einer in \(\mathbb{R}\) definierten differenzierbaren Funktion \(g:x\mapsto g(x)\). Mithilfe des Newton-Verfahrens soll ein Näherungswert für die Nullstelle \(a\) von \(g\) ermittelt werden. Begründen Sie, dass weder die \(x\)- Koordinate des Hochpunkts \(\mathrm H\) noch die \(x\)- Koordinate des Tiefpunkts \(\mathrm T\) als Startwert des Newton-Verfahrens gewählt werden kann.

     

     

     

     

  • Aufgabe 5

    1 Minute

    Gegeben ist die Funktion \(f\) mit \(f(x)=x^3-6x^2+11x-6\) und \(x \in \mathbb R\).

    a) Weisen Sie nach, dass der Wendepunkt des Graphen von \(f\) auf der Geraden mit der Gleichung \(y=x-2\) liegt.

    b) Der Graph von \(f\) wird verschoben. Der Punkt \((2\mid0)\) des Graphen der Funktion \(f\)besitzt nach der Verschiebung die Koordinaten \((3\mid2)\). Der verschobene Graph gehört zu einer Funktion \(h\). Geben Sie eine Gleichung von \(h\) an.

  • Aufgabe 6

    1 Minute

    Analysis, Teil 2 Aufgabe 1

    Gegeben ist die Funktion \(g:x \mapsto \mathrm{ln}\ (2x+3)\) mit maximaler Definitionsmenge \(D\) und der Wertemenge \(W\). Der Graph von \(g\) wird mit \(G_g\) bezeichnet.

    a) Geben Sie \(D\) und \(W\) an

    b) Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente an \(G_g\) im Schnittpunkt von \(G_g\) mit der \(x\)-Achse

  • Aufgabe 7

    1 Minute

    Gegeben ist die Funktion \(f\) mit \(f(x)=x^3-6x^2+11x-6\) und \(x \in \mathbb R\)

    a) Weisen Sie nach, dass der Wendepunkt des Graphen von \(f\) auf der Geraden mit der Gleichung \(y=x-2\) liegt.

    b) Der Graph von \(f\) wird verschoben. Der Punkt \((2\mid 0)\) des Graphen der Funktion \(f\) besitzt nach der Verschiebung die Koordinaten \((3\mid 2)\). Der verschobene Graph gehört  zu einer Funktion \(h\). Geben Sie eine Gleichung von \(h\) an.

  • Aufgabe 8

    1 Minute

    Geben Sie jeweils den Term einer Funktion an, die die angegebene(n) Eigenschaft(en) besitzt.

    a) Die Funktion \(g\) hat die maximale Definitionsmenge \(]-\infty;5[\).

    b) Die Funktion \(k \) hat in \(x=2\) eine Nullstelle und in \(x=-3\)  eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel. Der Graph von \(k\) hat die Gerade mit der Gleichung \(y=1\) als Asymptote.

  • Aufgabe 9

    1 Minute

    Gegeben ist die Schar der in \(\mathbb{R}\) definierten Funktionen \(f_a:x\mapsto xe^{ax}\) mit \(a \in \mathbb{R}\backslash \{0\}\). Ermitteln Sie, für welchen Wert von \(a\) die erste Ableitung von \(f_a\) an der Stelle \(x=2\) den Wert \(0\) besitzt.

  • Aufgabe 10

    1 Minute

    Analytische Geometrie, Teil 1 Aufgabe 1

    Die Gerade \(g\) verläuft durch die Punkte \(A( 0 \mid 1 \mid 2)\) und \(B (2\mid 5\mid 6)\)

    a) Zeigen Sie, dass die Punkte \(A\) und \(B\) den Abstand \(6\) haben. Die Punkte \(C\) und \(D\) liegen auf \(g\) und haben von \(A\) jeweils den Abstand \(12\). Bestimmen Sie die Koordinaten von \(C\) und \(D\)

    b) Die Punkte \(A\)\(B\) und \(E (1\mid 2 \mid 5)\) sollen mit einem weiteren Punkt die Eckpunkte eines Parallelogramms bilden. Für die Lage des vierten Eckpunkts gibt es mehrere Möglichkeiten. Geben Sie für zwei dieser Möglichkeiten die Koordinaten des vierten Eckpunkts an.

  • Aufgabe 11

    1 Minute

    Betrachtet wird die Pyramide \(ABCDS\) mit \(A(0\mid 0\mid0),\ B(4\mid4\mid2), \ C(8\mid0\mid2),\ D(4\mid-4\mid0)\) und \(S(1\mid 1\mid-4)\). Die Grundfläche \(ABCD\) ist ein Parallelogramm.

    a) Weisen SIe nach, dass das Parallelogramm \(ABCD\) ein Rechteck ist.

    b) Die Kante \([AS]\) steht senkrecht auf der Grundfläche \(ABCD\). Der Flächenhinhalt der Grundfläche beträgt \(24\sqrt 2\). Ermitteln Sie das Volumen der Pyramide.

  • Aufgabe 12

    1 Minute

    Analytische Geometrie, Teil 2 Aufgabe 1

    Die Gerade \(g\) verläuft durch die Punkte \(A\ (0\mid1\mid2)\) und \(B\ (2\mid5\mid6)\).

    a) Zeigen Sie, dass die Punkte \(A\) und \(B\) den Abstand \(6\) haben.

    Die Punkte \(C\) und \(D\) liegen auf \(g\) und haben von jeweils den Abstand \(12\). Bestimmen Sie die Koordinaen von \(C\) und \(D\).

    b) Die Punkte \(A\),\(B\) und \(E\) \((1\mid2\mid5)\) sollen mit einem weitern Punkt die Eckpunkte eines Parallelogramms bilden. Für die Lage des vierten Eckpunkts gibt es mehrere Möglichkeiten. Geben Sie für zwei dieser Möglichkeiten die Koordinaten des vierten Eckpunkts an.

  • Aufgabe 13

    1 Minute

    Die Abbildung zeigt die Pyramide \(ABCDS\) mit quadratischer Grundfläche \(ABCD\). De Pyramide ist eine Stufenpyramide einbeschrieben, die aus Würfeln mit der Kantenlänge \(1\) besteht.

    a) Geben Sie das Volumen der Stufenpyramide und die Höhe der Pyramide \(ABCDS\) an.

    b) Bestimmen Sie unter der Verwendung eines geeignet gewählten kartesischen Koordinatensystems eine Gleichung für die Gerade, die durch die Punkte \(B\) und \(S\) verläuft. Zeichnen Sie das gewählte Koordinatensystem in die Abbildung ein.

  • Aufgabe 14

    1 Minute

    Stochastik, Teil 1 Aufgabe 1

    Bei der Wintersportart Biathlon wird bei jeder Schießeinlage auf fünf Scheiben geschossen. Ein Biathlet tritt bei einem einzelrennen zu einer Schießeinlage an, bei der er auf jede Scheibe einen Schuss abgibt. Diese Schießeinlage wird modellhaft durch eine Bernoullikette mit der Länge \(5\) und der Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) beschrieben.

    a) Geben Sie für die folgenden Ereignisse A und B jeweils einen Term an, der die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses in Abhängigkeit von p beschreibt. 

    A: „Der Biathlet trifft bei genau vier Schüssen.“ B: „Der Biathlet trifft nur bei den ersten beiden Schüssen.“ 

    b) Erläutern Sie anhand eines Beispiels, dass die modellhafte Beschreibung der Schießeinlage durch eine Bernoullikette unter Umständen der Realität nicht gerecht wird.

  • Aufgabe 15

    1 Minute

    Ein Moderator lädt zu seiner Talkshow drei Politiker, eine Journalistin und zwei Mitglieder einer Bürgerinitiative ein. Für die Diskussionsrunde ist eine halbkreisförmige Sitzordnung vorgesehen, bei der nach den Personen unterschieden wird und der Moderator den mittleren Platz einnimmt. 

    a) 

    Geben Sie einen Term an, mit dem die Anzahl der möglichen Sitzordnungen berechnet werden kann, wenn keine weiteren Einschränkungen berücksichtigt werden.

    b)

    Der Sender hat festgelegt, dass unmittelbar neben dem Moderator auf einer Seite die Journalistin und auf der anderen Seite  einer der Politiker sitzen soll. Berechnen Sie unter Berücksichtigung dieser weiteren Einschränkung die Anzahl der möglichen Sitzordnungen.

  • Aufgabe 16

    1 Minute

    Stochastik, Teil 2 Aufgabe 1

    Die beiden Diagramme zeigen für die Bevölkerungsgruppe der über 14-Jährigen in Deutschland Daten zur Altersstruktur und zum Besitz von Mobiltelefonen.

     

     

     

     

     

     

     

    Aus den über 14-Jährigen in Deutschland wird eine Person zufällig ausgewählt. Betrachtet werden folgende Ereignisse:

    M: „Die Person besitzt ein Mobiltelefon.“ S: „Die Person ist 65 Jahre oder älter.“E: „Mindestens eines der Ereignisse M und S tritt ein.“

    a) Geben Sie an, welche zwei der folgenden Mengen \(I\) bis \(VI\) jeweils das Ereignis E beschreiben.

    \(\begin{array}\\ I& M\cap S&&II& M\cup S\\ III&\overline{M\cup S}&&IV&(M\cap \overline S)\cup(\overline M \cap S)\cup(\overline M\cap \overline S)\\ V&(M\cap S)\cup(M \cap \overline S)\cup(\overline M\cap S)&&VI &\overline{M\cap S} \end{array}\)

    b) Entscheiden Sie anhand geeigneter Terme und auf der Grundlage der vorliegenden Daten, welche der beiden folgenden Wahrscheinlichkeiten größer ist. Begründen Sie Ihre Entscheidung. 

    \(p_1\) ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die ausgewählte Person ein Mobiltelefon besitzt, wenn bekannt ist, dass sie 65 Jahre oder älter ist. 

    \(p_2\) ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die ausgewählte Person 65 Jahre oder älter ist, wenn bekannt ist, dass sie ein Mobiltelefon besitzt.

    c) Erstellen Sie zu dem beschriebenen Sachverhalt für den Fall, dass das Ereignis E mit einer Wahrscheinlichkeit von \(98\ \%\) eintritt, eine vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel. Bestimmen Sie für diesen Fall die Wahrscheinlichkeit \(P_S(M)\)

     

     

  • Aufgabe 17

    1 Minute

    Zwei Drittel der Senioren in Deutschland besitzen ein Mobiltelefon. Bei einer Talkshow zum Thema „Chancen und Risiken der digitalen Welt“ sitzen \(30\) Senioren im Publikum.

    a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter \(30\) zufällig ausgewählten Senioren in Deutschland mindestens \(17\) und höchstens \(23\) ein Mobiltelefon besitzen.

    b) Von den \(30\) Senioren im Publikum besitzen \(24\) ein Mobiltelefon. Im Verlauf der Sendung werden drei der Senioren aus dem Publikum zufällig ausgewählt und nach ihrer Meinung befragt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau zwei dieser Senioren ein Mobiltelefon besitzen.

  • Aufgabe 18

    1 Minute

    Eine Handelskette hat noch zahlreiche Smartphones des Modells Y3 auf Lager, als der Hersteller das Nachfolgemodekk Y4 auf den Markt bringt. Der Einkaufspreis für das neue Y4 beträgt 300€, während die Handelskette für das Vorgängermodell Y3 im Einkauf nur 250€ bezahlen musste. Um die Lagerbestände noch zu verkaufen, bietet die Handelskette ab dem Verkaufsstart des Y4 die Smartphones des Typs Y3 für 199€ an. Aufgrund früherer Erfahrungen geht die Handelskette davon aus, dass von den verkauften Smartphones der Modelle Y3 und Y4 trotz des Preisnachlasses nur 26% vom Typ Y3 sein werden. Berechnen Sie unter dieser Voraussetzung, zu welchem Preis die Handelskette das Y4 anbieten muss, damit sie voraussichtlich pro verkauftem Smartphone der Modelle Y3 und Y4 im Mittel 97€ mehr erhält, als sie beim Einkauf dafür zahlen musste.