• Aufgabe 1

    50 Minuten 20 Punkte

    Abbildung 1 zeigt eine Sonnenuhr mit einer gegenüber der Horizontalen geneigten, rechteckigen Grundplatte, auf der sich ein kreisförmiges Zifferblatt befindet. Auf der Grundplatte ist der Polstab befestigt, dessen Schatten bei Sonneneinstrahlung die Uhrzeit auf dem Zifferblatt anzeigt. Eine Sonnenuhr dieser Bauart wird in einem kartesischen Koordinatensystem modellhaft dargestellt (vgl.Abbildung 2). Dabei beschreibt das Rechteck \(ABCD\) mit \(A(5\mid -4\mid 0)\) und \(B(5\mid 4 \mid 0)\) die Grundplatte der Sonnenuhr. Der Befestigungspunkt des Polstabs auf der Grundplatte wird im Modell durch den Diagonalenschnittpunkt \(M(2,5 \mid 0 \mid 2)\) des Rechtecks \(ABCD\) dargestellt. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht \(10\ \mathrm{cm}\) in der Realität. Die Horizontale wird im Modell durch die \(x_1\ x_2\)-Ebene beschrieben.

     

    Ein Foto einer Sonnenuhr.
    © Kultusministerium Bayern

    Abb. 1

     


    Abb. 2

    a) Bestimmen Sie die Koordianten des Punkts \(C\). Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene \(E\), in der das Rechteck \(ABCD\) liegt, in Normalenform. (mögliches Teilergebnis: E: \(4x_1+5x_3-20=0\))

    b) Die Grundpalette ist gegenüber der Horizontalen um den Winkel \(\alpha\) geneigt. Damit man mit der Sonnenuhr die Uhrzeit korrekt bestimmen kann, muss für den Breitengrad \(\varphi\) des Aufstellungsorts der Sonnenuhr \(\alpha+\varphi=90°\) gelten. Bestimmen Sie, für welchen Breitengrad \(\varphi\) die Sonnenuhr gebaut wurde.

    c) Der Polstab wird im Modell durch die Strecke \([MS]\) mit \(S(4,5\mid0 \mid4,5)\) dargestellt. Zeigen Sie, dass der Polstab senkrecht auf der Grundplatte steht und berechnen Sie die Länge des Polstabs auf Zentimeter genau. Sonnenlicht, das an einem Sonntag zu einembestimmten Zeitpunkt \(t_0\) auf die Sonnenuhr einfällt, wird im Modell durch parallele Gerade mit dem Richtungsvektor \(\vec u=\begin{pmatrix}6 \\6 \\-13\end{pmatrix}\) dargestellt.

    d) Weisen Sie nach, dass der Schatten der im Modell durch den Punkt \(S\) dargestellten Spitze des Polstabs außerhalb der rechteckigen Grundplatte liegt.

    e) Um 6 Uhr verläuft der Schatten des Polstabs im Modell durch den Mittelpunkt der Kante \([BC]\), um 12 Uhr durch den Mittelpunkt der Kante \([AB]\) und um 18 Uhr durch den Mittelpunkt der Kante \([AD]\). Begründen Sie, dass der betrachtete Zeitpunkt \(t_0\) vor 12 Uhr liegt.