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Abiturprüfung

Originalprüfung 2015 Geometrie GK HT3

Abitur 5 Minuten
  • Aufgabe 1

    1 Minute

    In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte \(O(0|0|0),\ A(9|12|0),\ B(-3|21|0),\ C(-12|9|0)\) und \(S(-1,5|10,5|15)\) Eckpunkte der Pyramide \(OABCS\), deren Grundfläche das Viereck \(OABC\) ist (siehe Abbildung).

    Im Folgenden darf verwendet werden, dass die Seitendreiecke der Pyramide zueinander kongruent sind.

  • Aufgabe 2

    1 Minute 14 Punkte
    (1) 

    Zeigen Sie, dass das Viereck \(OABC\) ein Quadrat ist.

    (2) 

    Berechnen Sie das Volumen und die Oberfläche der Pyramide \(OABCS\).

    (6 + 8 Punkte)

  • Aufgabe 3

    1 Minute 15 Punkte
    (1) 

    Zeigen Sie, dass der Punkt \(R (5|15|0)\) auf der Strecke \(AB\) liegt.

    (2) 

    Zeigen Sie, dass die Strecke \(OR\) die Grundfläche der Pyramide im Verhältnis \(5:1\) bzw. \(1:5\) teilt.

    (3) 

    Leiten Sie eine Parameter- und eine Koordinatengleichung der Ebene \(E\) her, die durch die Punkte \(O\),  \(Q(1|1|2)\) und \(R\) festgelegt ist. [Mögliches Ergebnis: \(E: 3x_1-x_2-x_3=0\)]

    (3 + 5 + 7 Punkte)

  • Aufgabe 4

    1 Minute 21 Punkte
    (1) 

    Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes \(P\) der Geraden \(g\) durch \(S\) und \(A\) mit der Ebene \(E\) aus Aufgabe b) (3). [Zur Kontrolle: Der Schnittpunkt ist \(P(5,5|11,5|5)\).]

    (2) 

    Weisen Sie nach, dass die Strecken \(\overline {OP}\) und \(\overline{BP}\) senkrecht zur Geraden \(g\) verlaufen.

    (3) 

    Begründen Sie, dass der Streckenzug \(\overline{OPB}\) ein kürzester Weg von \(O\) nach \(B\) über den Mantel der Pyramide (Mantel: Oberfläche ohne Grundfläche) ist, und berechnen Sie die Länge des Streckenzuges.

    (4) 

    Es gibt einen weiteren Streckenzug \(\overline{ONB}\) \((N\neq P)\), der ein kürzester Weg von \(O\) nach \(B\) über den Mantel der Pyramide ist. Begründen Sie diese Aussage und beschreiben Sie die Lage des Punktes \(N\).

    (6 + 4 + 6 + 5 Punkte)