Abiturprüfung Analysis A2 2015 HE GK

Ermitteln Sie die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion \(p\), deren Graph die parabelförmige Berandung der vorderen Abschlussfläche des Gewächshauses beschreibt.
\(\left[\text{zur Kontrolle:}\;p(x)=-\frac{12}{49}\cdot x^2+3,\quad x\in[-3,5;\ 3,5]\quad(\text{in Metern})\right]\)

Um eine geeignete Arbeitshöhe für die Gärtner zu bekommen, wird in einer Hälfte des Gewächshauses in 1 Meter Höhe über die gesamte Länge des Gewächshauses ein Zwischenboden eingefügt.

Ermitteln Sie den Flächeninhalt des Zwischenbodens.
Berechnen Sie, um wie viel Prozent der Zwischenboden kleiner ist als die Bodenfläche dieser Gewächshaushälfte.

Mehrere Kunden reklamieren, dass das Gewächshaus im oberen Bereich zu eng gebaut sei. Die Firma möchte mit einer Halbkreis-Form Abhilfe schaffen (siehe Abbildung). Die Höhe und die Länge des Gewächshauses sollen beibehalten werden.

Bestimmen Sie den Verbrauch an Folie für die neue Bedachung (ohne Vorder- und Rückseite).
(Information: Die Gleichung \(x^2+y^2=r^2\) beschreibt einen Kreis mit dem Radius \(r\), dessen Mittelpunkt im Nullpunkt des Koordinatensystems liegt.)

Leiten Sie ausgehend von den Informationen zu der obigen Abbildung die Funktionsgleichung einer Funktion \(k\) her, mit deren Graph der Rand der halbkreisförmigen vorderen Abschlussfläche des Gewächshauses beschrieben werden kann.
\(\left[\text{zur Kontrolle:}\;k(x)=\sqrt{9-x^2}\;\text{für}\;-3\leq x\leq3\right]\)

Um im unteren Bereich mehr Breite zu gewinnen, wird der Kreisbogen ab den Punkten \(P_1(-2,5|k(x=-2,5))\) und \(P_2(2,5|k(x=2,5))\) durch Tangenten ersetzt.
Berechnen Sie die neue Breite der Bodenfläche des Gewächshauses.
Hinweis: Sie können einfache geometrische Beziehungen zwischen Kreisradius und Kreistangente nutzen.