Abiturprüfung Gesamtklausur Teil A 2014 BY

Gegeben ist die in \(\mathbb{R}\) definierte Funktion \(f\) mit \(f(x)=e^{x}\cdot (2x+x^{2})\).

1. Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion \(f\).
2. Zeigen Sie, dass die in \(\mathbb{R}\) definierte Funktion mit \(F(x)=x^{2}\cdot e^{x} \) eine Stammfunktion von \(f\) ist. Geben Sie eine Gleichung einer weiteren Stammfunktion \(G\) von \(f\) an, für die \(G(1)=2e\) gilt.

Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion \(f\).

1. Beschreiben Sie für \(a \leq x \leq b\) den Verlauf des Graphen einer Stammfunktion von \(f\).
2. Skizzieren Sie in der Abbildung den Graphen einer Stammfunktion von \(f\) im gesamten dargestellten Bereich.

Analysis, Teil 2
Aufgabe 1

Geben Sie jeweils den Term einer in \(\mathbb{R}\) definierten periodischen Funktion an, die die angegebene Eigenschaft hat.

1. Der Graph der Funktion \(g\) geht aus dem Graphen der in \(\mathbb{R}\) definierten Funktion \(x\longmapsto\sin x\) durch Spiegelung an der \(y\)-Achse hervor.
2. Die Funktion \(h\) hat den Wertebereich \([1;3]\).
3. Die Funktion \(k\) besitzt die Periode \(π\).

Gegeben ist die in \(\mathbb{R}\) definierte Funktion \(f\) mit \(f(x)=e^x⋅(2x+x^2)\).

1. Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion \(f\).
2. Zeigen Sie, dass die in \(\mathbb{R}\) definierte Funktion mit \(F(x)=x^2⋅e^x\) eine Stammfunktion von \(f\) ist. Geben Sie eine Gleichung einer weiteren Stammfunktion \(G\) von \(f\) an, für die \(G(1) = 2e\) gilt.

Der Graph einer in \(\mathbb{R}\) definierten Funktion \(g: x⟼g(x)\) besitzt für \(-5≤x≤5 \) zwei Wendepunkte. Entscheiden Sie, welcher der Graphen I, II und III zur zweiten Ableitungsfunktion \(g^"\) von \(g\) gehört. Begründen Sie Ihre Entscheidung.

In einem Koordinatensystem werden alle Rechtecke betrachtet, die folgende Bedingungen erfüllen:

• Zwei Seiten liegen auf den Koordinatenachsen.
• Ein Eckpunkt liegt auf dem Graphen \(G_f\) der Funktion \(f: x\longmapsto-\ln x\) mit \(0 < x < 1\) .

Abbildung 1 zeigt ein solches Rechteck.

Unter den betrachteten Rechtecken gibt es eines mit größtem Flächeninhalt. Berechnen Sie die Seitenlängen dieses Rechtecks.

Abbildung 2 zeigt den Graphen einer Funktion \(f\).

1. Beschreiben Sie für \(a≤x≤b\) den Verlauf des Graphen einer Stammfunktion von \(f\).
2. Skizzieren Sie in Abbildung 2 den Graphen einer Stammfunktion von \(f\) im gesamten dargestellten Bereich.

Analytische Geometrie, Teil 1
Aufgabe 1

Die Abbildung zeigt ein gerades Prisma \(ABCDEF\) mit \(A(0|0|0)\), \(B(8|0|0)\), \(C(0|8|0)\) und \(D(0|0|4)\).

1. Bestimmen Sie den Abstand der Eckpunkte \(B\) und \(F\).
2. Die Punkte \(M\) und \(P\) sind die Mittelpunkte der Kanten \([AD]\) bzw. \([BC]\). Der Punkt \(K(0|y_K|4)\) liegt auf der Kante \([DF]\). Bestimmen Sie \(y_K\) so, dass das Dreieck \(KMP\) in \(M\) rechtwinklig ist.

Analytische Geometrie, Teil 2
Aufgabe 1

Die Vektoren \(\overrightarrow{a} =\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\2\end{array}\right)\), \(\overrightarrow{b} =\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\0\end{array}\right)\) und \(\overrightarrow{c} =\left(\begin{array}{c}4t\\ 2t\\-5t\end{array}\right)\) spannen für jeden Wert von \(t\) mit \(t \in \mathbb{R} \backslash \left\{0 \right\}\) einen Körper auf. Die Abbildung zeigt den Sachverhalt beispielhaft für einen Wert von \(t\).

1. Zeigen Sie, dass die aufgespannten Körper Quader sind.
2. Bestimmen Sie diejenigen Werte von \(t\), für die der jeweils zugehörige Quader das Volumen 15 besitzt.

Eine Kugel besitzt den Mittelpunkt \(M(-3|2|7)\). Der Punkt \(P(3|4|4)\) liegt auf der Kugel.

1. Der Punkt \(Q\) liegt ebenfalls auf der Kugel, die Strecke \([PQ]\) verläuft durch deren Mittelpunkt. Ermitteln Sie die Koordinaten von \(Q\).
2. Weisen Sie nach, dass die Kugel die \(x_1 x_2\)-Ebene berührt.

Stochastik, Teil 1
Aufgabe 1

In Urne \(A\) befinden sich 2 rote und 3 weiße Kugeln. Urne \(B\) enthält 3 rote und 2 weiße Kugeln. Betrachtet wird folgendes Zufallsexperiment:
Aus Urne \(A\) wird eine Kugel zufällig entnommen und in Urne \(B\) gelegt; danach wird aus Urne \(B\) eine Kugel zufällig entnommen und in Urne \(A\) gelegt.

1. Geben Sie alle Möglichkeiten für den Inhalt der Urne \(A\) nach der Durchführung des Zufallsexperiments an.
2. Betrachtet wird das Ereignis \(E\): „Nach Durchführung des Zufallsexperiments befinden sich wieder 3 weiße Kugeln in Urne \(A\).“ Untersuchen Sie, ob das Ereignis \(E\) eine größere Wahrscheinlichkeit als sein Gegenereignis hat.

Betrachtet wird eine Bernoulli-Kette mit der Trefferwahrscheinlichkeit 0,9 und der Länge 20. Beschreiben Sie zu dieser Bernoulli-Kette ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit durch den Term \(0,9^{20}+20\cdot0,1\cdot0,9^{19}\) angegeben wird.

Die Zufallsgröße \(X\) kann die Werte 0, 1, 2 und 3 annehmen. Die Tabelle zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(X\) mit \(p_1,p_2\in[0;1].\)

Zeigen Sie, dass der Erwartungswert von \(X\) nicht größer als 2,2 sein kann.

Stochastik, Teil 2
Aufgabe 1

In Urne \(A\) befinden sich 2 rote und 3 weiße Kugeln. Urne \(B\) enthält 3 rote und 2 weiße Kugeln. Betrachtet wird folgendes Zufallsexperiment:
Aus Urne \(A\) wird eine Kugel zufällig entnommen und in Urne \(B\) gelegt; danach wird aus Urne \(B\) eine Kugel zufällig entnommen und in Urne \(A\) gelegt.

1. Geben Sie alle Möglichkeiten für den Inhalt der Urne \(A\) nach der Durchführung des Zufallsexperiments an. 
2. Betrachtet wird das Ereignis \(E\): „Nach Durchführung des Zufallsexperiments befinden sich wieder 3 weiße Kugeln in Urne \(A\).“ Untersuchen Sie, ob das Ereignis \(E\) eine größere Wahrscheinlichkeit als sein Gegenereignis hat.

Das Baumdiagramm gehört zu einem Zufallsexperiment mit den Ereignissen \(C\) und \(D\). 

1. Berechnen Sie \(P(\overline{D}).\) 
2. Weisen Sie nach, dass die Ereignisse \(C\) und \(D\) abhängig sind.
3. Von den im Baumdiagramm angegebenen Zahlenwerten soll nur der Wert \(\frac{1}{10}\) so geändert werden, dass die Ereignisse \(C\) und \(D\) unabhängig sind. Bestimmen Sie den geänderten Wert.